Rozwinięcie dziesiętne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rozwinięcie dziesiętne – sposób przedstawiania liczb rzeczywistych w postaci ułamka dziesiętnego.

Ułamek ten może być skończony (np 1/2 = 0,5), nieskończony okresowy (1/3 = 0,333...) lub nieskończony nieokresowy (np. pi lub e). Ułamki nieskończone nieokresowe występują w przypadku liczb niewymiernych. Szczególnym przypadkiem jest 0,(9), gdyż jest równe 1. Łatwo można to sprawdzić, w sposób jak poniżej.

Przykładowo dana jest liczba u = 23,6170970970...; oto jak można wyznaczyć odpowiadający jej ułamek zwykły:

  1. obliczyć 100u = 2361,709709... – przesunąć przecinek do początku okresu;
  2. obliczyć 100.000u = 2.361.709,709709... – przesunąć przecinek do początku okresu w innym miejscu;
  3. obliczyć różnicę 100.000u – 100u = 2.361.709,709709... − 2361,709709... = 2.359.348 = 99.900u – części po przecinku zredukują się wzajemnie;
  4. w ten sposób otrzymuje się ułamek u = 2.359.348/99.900.

Kolejny przykład: u = 0,031313131...;

  1. obliczyć 10u = 0,313131... – przesunąć przecinek do początku okresu;
  2. obliczyć 1000u = 31,313131... – przesunąć przecinek do początku okresu w innym miejscu;
  3. obliczyć 1000u – 10u = 31,313131... − 0,313131... = 31 = 990u – części po przecinku zredukują się wzajemnie;
  4. w ten sposób otrzymuje się ułamek u = 31/990.

Teraz następny: u = 0,999999... – przecinek jest na początku okresu;

  1. 10u = 9,999999... – przesunąć przecinek do początku następnego okresu;
  2. 9u = 10uu = 9,99999... − 0,99999... = 9 – części po przecinku zredukują się wzajemnie;
  3. 9 = 9u – podzielić obustronnie przez 9;
  4. u = 1 czyli 0,(9) = 1.

Każda liczba posiadająca 9 w okresie jest liczba pełną w tym miejscu tj. 4,6(9) = 4,7 – można do tego dojść tą samą metodą jak powyżej.

Aby uzyskać rozwinięcie dziesiętne liczby, należy przedstawić ją w postaci ułamka niewłaściwego, a następnie wykonać zwykłe dzielenie.