Przyspieszenie
Rodzaj wielkości
wektorowa
Symbol
a
→
,
{\displaystyle {\vec {a}},}
a
,
{\displaystyle \mathbf {a} ,}
a
{\displaystyle a}
Jednostka SI
m/s², m·s−2
W podstawowych jednostkach SI
m
s
2
{\displaystyle \mathrm {\frac {m}{s^{2}}} }
Wymiar
L
T
2
{\displaystyle \mathrm {\frac {L}{T^{2}}} }
Przyspieszenie – wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora prędkości w czasie [1] [2] .
Przyspieszenie definiuje się jako pochodną prędkości po czasie, czyli jest szybkością zmiany prędkości[3] . Jeśli przyspieszenie jest skierowane przeciwnie do zwrotu prędkości ruchu, to wartość prędkości w tym ruchu maleje, a przyspieszenie to jest wtedy nazywane opóźnieniem .
Definicja przyspieszenia
Jeżeli dany wektor
r
→
{\displaystyle {\vec {r}}}
określa położenie punktu materialnego , a wektor
v
→
{\displaystyle {\vec {v}}}
określa prędkość tego punktu, to jego przyspieszenie
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
jest pochodną prędkości po czasie:
a
→
=
d
v
→
d
t
.
{\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}.}
Ponieważ prędkość z kolei jest pochodną położenia po czasie, to przyspieszenie można zapisać jako drugą pochodną położenia po czasie:
a
→
=
d
2
r
→
d
t
2
.
{\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}.}
Jednostką przyspieszenia w układzie SI jest metr na sekundę do kwadratu.
[
a
→
]
=
m
s
2
.
{\displaystyle [{\vec {a}}]=\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} .}
Zgodnie z drugą zasadą dynamiki przyspieszenie
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
ciała jest proporcjonalne do wypadkowej siły
F
→
{\displaystyle {\vec {F}}}
działającej na to ciało i odwrotnie proporcjonalne do masy ciała
m
.
{\displaystyle m.}
Kierunek i zwrot przyspieszenia
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
pokrywa się z kierunkiem i zwrotem siły
F
→
.
{\displaystyle {\vec {F}}.}
Wzór wyrażający tę zależność ma postać
a
→
=
F
→
m
.
{\displaystyle {\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}}.}
W ruchu po linii prostej kierunek prędkości jest ustalony, więc można ją traktować tak jak wielkość skalarną . Wówczas przyspieszenie określa wzór:
a
=
d
v
d
t
.
{\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}.}
W ruchu jednostajnie zmiennym [ edytuj | edytuj kod ]
Gdy przyspieszenie jest stałe (
a
=
c
o
n
s
t
{\displaystyle a=\mathrm {const} }
), wzór definicyjny przybiera postać
a
=
Δ
v
Δ
t
,
{\displaystyle a={\frac {\Delta v}{\Delta t}},}
gdzie
Δ
v
{\displaystyle \Delta v}
jest przyrostem prędkości w czasie
Δ
t
.
{\displaystyle \Delta t.}
Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym [ edytuj | edytuj kod ]
Przyspieszenie styczne
a
t
{\displaystyle a_{t}}
i normalne
a
n
{\displaystyle a_{n}}
Jeżeli punkt porusza się po torze krzywoliniowym[4] , wówczas jego całkowite przyspieszenie może być rozłożone na dwie składowe: prostopadłą do toru ruchu zwaną przyspieszeniem dośrodkowym lub normalnym (oznaczanym
a
→
n
{\displaystyle {\vec {a}}_{n}}
) i składową równoległą do toru, zwaną przyspieszeniem stycznym (ozn.
a
→
t
{\displaystyle {\vec {a}}_{t}}
).
Wektor
a
→
{\displaystyle {\vec {a}}}
przyspieszenia całkowitego jest sumą jego składowych – normalnej
a
→
n
{\displaystyle {\vec {a}}_{n}}
i stycznej
a
→
t
:
{\displaystyle {\vec {a}}_{t}{:}}
a
→
=
a
→
n
+
a
→
t
.
{\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{n}+{\vec {a}}_{t}.}
Składowe – styczna i normalna – są wzajemnie prostopadłe i dlatego wartość przyspieszenia całkowitego jest równa:
|
a
→
|
=
|
a
→
n
|
2
+
|
a
→
t
|
2
.
{\displaystyle |{\vec {a}}|={\sqrt {|{\vec {a}}_{n}|^{2}+|{\vec {a}}_{t}|^{2}}}.}
Przyspieszenie dośrodkowe (normalne) [ edytuj | edytuj kod ]
Jest to składowa przyspieszenia prostopadła do toru ruchu. Reprezentuje tę część przyspieszenia, która wpływa na zmianę kierunku prędkości, a zatem na kształt toru, ale nie wpływa na zmianę wartości prędkości[5] . Jeżeli prędkość chwilowa oznaczona jest jako
v
,
{\displaystyle v,}
a chwilowy promień zakrzywienia toru (promień okręgu stycznego do toru, czyli promień krzywizny toru) ruchu wynosi
r
,
{\displaystyle r,}
to wartość
a
n
{\displaystyle a_{n}}
przyspieszenia dośrodkowego ciała jest równa:
a
n
=
v
2
r
.
{\displaystyle a_{n}={\frac {v^{2}}{r}}.}
Jest to składowa przyspieszenia styczna do toru ruchu, powodująca zmianę wartości prędkości, ale nie powodująca zmiany kierunku ruchu. Stosując oznaczenie
v
{\displaystyle v}
dla wartości prędkości chwilowej i oznaczenie
s
{\displaystyle s}
dla drogi pokonanej przez ciało, przyspieszenie styczne
a
t
{\displaystyle a_{t}}
określają wzory:
a
t
=
d
v
d
t
=
d
2
s
d
t
2
.
{\displaystyle a_{t}={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}.}
Przyspieszenie kątowe ciała jest wielkością opisującą jego ruch obrotowy, utworzoną analogicznie do przyspieszenia liniowego, tylko wyrażoną w wielkościach kątowych. Jest pseudowektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt
α
,
{\displaystyle \alpha ,}
a
ω
{\displaystyle \omega }
oznacza jego prędkość kątową, to wartość przyspieszenia kątowego
ε
{\displaystyle \varepsilon }
określa wzór
ε
=
d
ω
d
t
=
d
2
α
d
t
2
[
ε
]
=
1
s
2
.
{\displaystyle \varepsilon ={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\quad [\varepsilon ]={\frac {1}{{\text{s}}^{2}}}.}
Jednostką przyspieszenia kątowego w układzie SI jest jeden radian przez sekundę do kwadratu.
Dowolne współrzędne krzywoliniowe [ edytuj | edytuj kod ]
Niech współrzędne krzywoliniowe
q
1
(
t
)
,
q
2
(
t
)
,
q
3
(
t
)
{\displaystyle q_{1}(t),\,q_{2}(t),\,q_{3}(t)}
tworzą układ współrzędnych w przestrzeni
R
3
.
{\displaystyle R^{3}.}
Oznaczmy przez
e
1
,
e
2
,
e
3
{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\,\mathbf {e} _{2},\,\mathbf {e} _{3}}
wersory kierunków stycznych do osi tego układu[1] [6] .
Jeżeli
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
jest wektorem przyspieszenia, to jego rzuty na osie układu współrzędnych można zapisać wzorami
a
i
=
a
e
i
=
v
˙
e
i
=
v
˙
∂
r
/
∂
q
i
|
∂
r
/
∂
q
i
|
,
i
=
1
,
2
,
3.
{\displaystyle a_{i}=\mathbf {a} \mathbf {e} _{i}={\dot {\mathbf {v} }}\mathbf {e} _{i}={\dot {\mathbf {v} }}{\frac {\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}}{|\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}|}},\quad i=1,2,3.}
(1)
Ponieważ
d
d
t
(
v
e
i
)
=
v
˙
e
i
+
v
d
d
t
e
i
⟶
v
˙
e
i
=
d
d
t
(
v
e
i
)
−
v
d
d
t
e
i
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\mathbf {v} \mathbf {e} _{i})={\dot {\mathbf {v} }}\mathbf {e} _{i}+\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{i}\quad \longrightarrow \quad {\dot {\mathbf {v} }}\mathbf {e} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {v} \mathbf {e} _{i})-\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{i}}
zatem
a
i
=
d
d
t
(
v
e
i
)
−
v
d
d
t
e
i
=
1
|
∂
r
/
∂
q
i
|
[
d
d
t
(
v
∂
r
∂
q
i
)
−
v
d
d
t
∂
r
∂
q
i
]
.
{\displaystyle a_{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {v} \mathbf {e} _{i})-\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{i}={\frac {1}{|\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}|}}\left[{\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\right)-\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial r}{\partial q_{i}}}\right].}
(2)
Na podstawie wzoru dla prędkości
v
=
∂
r
∂
q
1
q
˙
1
+
∂
r
∂
q
2
q
˙
2
+
∂
r
∂
q
3
q
˙
3
{\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{1}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{3}}}{\dot {q}}_{3}}
(3)
mamy
∂
r
∂
q
i
=
∂
v
∂
q
˙
i
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial {\dot {q}}_{i}}}}
(4)
i dzięki temu
v
∂
r
∂
q
i
=
v
∂
v
∂
q
˙
i
=
∂
(
v
2
/
2
)
∂
q
˙
i
.
{\displaystyle \mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}=\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.}
(5)
Mamy również
d
d
t
∂
r
∂
q
1
=
∂
2
r
∂
q
1
2
q
˙
1
+
∂
2
r
∂
q
1
∂
q
2
q
˙
2
+
∂
2
r
∂
q
1
∂
q
3
q
˙
3
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial r}{\partial q_{1}}}={\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}^{2}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}\partial q_{3}}}{\dot {q}}_{3}}
(6)
oraz
∂
v
∂
q
1
=
∂
2
r
∂
q
1
2
q
˙
1
+
∂
2
r
∂
q
2
q
1
q
˙
2
+
∂
2
r
∂
q
3
q
1
q
˙
3
.
{\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial q_{1}}}={\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}^{2}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{2}q_{1}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{3}q_{1}}}{\dot {q}}_{3}.}
(7)
Z porównania prawych stron (5) i (6) wynika, że
d
d
t
∂
r
∂
q
i
=
∂
v
∂
q
i
,
i
=
1
,
2
,
3.
{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial q_{i}}},\quad i=1,2,3.}
(8)
Mamy zatem
v
d
d
t
∂
r
∂
q
i
=
v
∂
v
∂
q
i
=
∂
(
v
2
/
2
)
∂
q
i
.
{\displaystyle \mathbf {v} {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}=\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial q_{i}}}={\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial q_{i}}}.}
(9)
Po podstawieniu (5) i (9) do (2) otrzymujemy następujące wzory dla rzutów
a
i
{\displaystyle a_{i}}
wektora przyspieszenia
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
na osie krzywoliniowego układu współrzędnych
a
i
=
1
|
∂
r
/
∂
q
i
|
[
d
d
t
∂
(
v
2
/
2
)
∂
q
˙
i
−
∂
(
v
2
/
2
)
∂
q
i
]
,
i
=
1
,
2
,
3.
{\displaystyle a_{i}={\frac {1}{|\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}|}}\left[{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial q_{i}}}\right],\quad i=1,2,3.}
(9)
Do pomiaru służy przetwornik przyspieszenia nazywany przyspieszeniomierzem lub akceleromierzem czy akcelerometrem.
↑ a b G.K. Susłow, Mechanika teoretyczna , PWN, Warszawa 1960.
↑ przyspieszenie , [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-15] .
↑ J. Awrejcewicz, Mechanika techniczna i teoretyczna , Wyd. Politechniki Łódzkiej, Łódź 2011.
↑ M. Paluch, Mechanika teoretyczna , Wyd. Politechniki Krakowskiej, Kraków 2006.
↑ R. Janiczek, Mechanika teoretyczna , Cz. 1, 2, 3, Wyd. Politechniki Śląskiej, Częstochowa 1979.
↑ Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье, Курс теоретической механики , Гос. Издат. Технико-теоретической литературы, Москва 1954.
Działy
Sformułowania
Koncepcje podstawowe
Podstawowe zagadnienia
Znani uczeni