Rugownik

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Rugownik – dla dwóch wielomianów wyrażenie zależne od ich współczynników, które jest równe zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomiany te mają wspólny pierwiastek.

Definicja i własności[edytuj | edytuj kod]

Rozpatrzmy dwa wielomiany w ciele liczbowym K:

F(x)=a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \dots + a_{0}
G(x)=b_{m} x^{m} + b_{m-1} x^{m-1} + b_{m-2} x^{m-2} + \dots + b_{0}

Rugownikiem tych wielomianów nazywa się wyznacznik stopnia n+m postaci[a]

\mathrm{R}(F,G)=\begin{vmatrix}
a_{n} & a_{n-1} & a_{n-2} & \dots & a_{0} & 0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & a_{n} & a_{n-1} & \dots & a_{1} & a_{0} & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & a_{n} & \dots & a_{2} & a_{1} & a_{0} & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & a_{n} & a_{n-1} & a_{n-2} & \dots & a_{0} \\
b_{m} & b_{m-1} & b_{m-2} & \dots & b_{0} & 0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & b_{m} & b_{m-1} & \dots & b_{1} & b_{0} & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & b_{m} & \dots & b_{2} & b_{1} & b_{0} & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & b_{m} & b_{m-1} & b_{m-2} & \dots & b_{0}
\end{vmatrix}.

Przyjmuje się dodatkowo, że \mathrm{R}(0,G)=\mathrm{R}(F,0)=0

Wówczas dla dowolnych wielomianów F,G,H:

  • \mathrm{R}(F,G) = (-1)^{\deg F \cdot \deg G} \cdot \mathrm{R}(G,F)
  • \mathrm{R}(F\cdot H,G) = \mathrm{R}(F,G) \cdot \mathrm{R}(H,G)
  • \mathrm{R}(F,G) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy F\, i G\, mają wspólny pierwiastek.
  • Istnieją takie wielomiany v,w, że v \cdot F+w \cdot G = \mathrm{R}(F,G)

Niech F,G będą postaci

F(t)=(t-x_{1})(t-x_{2}) \dots (t-x_{s})
G(t)=(t-y_{1})(t-y_{2}) \dots (t-y_{r})

Wtedy \mathrm{R}(F,G)=\prod_{i=1}^s \prod_{j=1}^r (x_{i}-y_{j})[b]

Zastosowanie[edytuj | edytuj kod]

Rozwiązywanie układów dwóch równań z dwiema niewiadomymi[edytuj | edytuj kod]

Rozpatrzmy układ równań wielomianowych f(x,y)=0, g(x,y)=0; f,g – niezerowe. Po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg y uzyskujemy:

f_{0}(x) y^{s} + f_{1}(x) y^{s-1} + f_{2}(x) y^{s-2} + \dots + f_{s}(x)
g_{0}(x) y^{t} + g_{1}(x) y^{t-1} + g_{2}(x) y^{t-2} + \dots + g_{t}(x)

gdzie f_{0},g_{0} są wielomianami niezerowymi. Można rozważyć rugownik:

\mathrm{R}(x)=\begin{vmatrix}
f_{0}(x) & f_{1}(x) & f_{2}(x) & \dots & f_{s}(x) & 0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & f_{0}(x) & f_{1}(x) & \dots & f_{s-1}(x) & f_{s}(x) & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & f_{0}(x) & \dots & f_{s-2}(x) & f_{s-1}(x) & f_{s}(x) & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & f_{0}(x) & f_{1}(x) & f_{2}(x) & \dots & f_{s}(x) \\
g_{0}(x) & g_{1}(x) & g_{2}(x) & \dots & g_{t}(x) & 0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & g_{0}(x) & g_{1}(x) & \dots & g_{t-1}(x) & g_{t}(x) & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & g_{0}(x) & \dots & g_{t-2}(x) & g_{t-1}(x) & g_{t}(x) & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \dots & g_{0}(x) & g_{1}(x) & g_{2}(x) & \dots & g_{t}(x)
\end{vmatrix}.

Podobnie, po uporządkowaniu składników wielomianów względem potęg x, tworzy się rugownik \mathrm{S}(y). Można udowdnić, że gdy para (a,b) jest rozwiązaniem układu równań f(x,y)=0, g(x,y)=0, zachodzi \mathrm{R}(a)=0 oraz \mathrm{S}(b)=0.

Powyższe rozumowanie prowadzi do metody uzyskiwania rozwiązań układu równań. Jeśli R,S są wielomianami niezerowymi, ich rozkład na czynniki pierwsze daje skończoną liczbę potencjalnych wartości a_1,\dots,a_k odciętej i b_1,\dots,b_l rzędnej rozwiązania. Wówczas pozostaje bezpośrednie sprawdzenie, które z par (a_i,b_j) są rozwiązaniami układu równań.

Uwagi

  1. Współczynnik a_{n}, pojawiając się w wyznaczniku po raz ostatni, nie musi znajdować się bezpośrednio nad b_{0}. Ich wzajemne położenie zależy od wartości m,n
  2. Wzór ten może być traktowany jako definicja rugownika.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]