Rugownik

W matematyce rugownikiem dwóch wielomianów

$P(x)=a_{n} x^{n} + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \dots + a_{0}$

$Q(x)=b_{m} x^{m} + b_{m-1} x^{m-1} + b_{m-2} x^{m-2} + \dots + b_{0}$

nazywa się wyznacznik stopnia $n+m$ postaci

$\mathrm{R}(P,Q)=\begin{vmatrix} a_{n} & a_{n-1} & a_{n-2} & \dots & a_{0} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{n} & a_{n-1} & \dots & a_{1} & a_{0} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & a_{n} & \dots & a_{2} & a_{1} & a_{0} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a_{n} & a_{n-1} & a_{n-2} & \dots & a_{0} \\ b_{m} & b_{m-1} & b_{m-2} & \dots & b_{0} & 0 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & b_{m} & b_{m-1} & \dots & b_{1} & b_{0} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & b_{m} & \dots & b_{2} & b_{1} & b_{0} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & b_{m} & b_{m-1} & b_{m-2} & \dots & b_{0} \end{vmatrix}$.

Dla dowolnych wielomianów $P,Q,R$:

• $\mathrm{R}(P,Q) = (-1)^{\deg P \cdot \deg Q} \cdot \mathrm{R}(Q,P)$
• $\mathrm{R}(P\cdot R,Q) = \mathrm{R}(P,Q) \cdot \mathrm{R}(R,Q)$
• $\mathrm{R}(P,Q) = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $P\,$ i $Q\,$ mają wspólny pierwiastek.