Rzut stereograficzny
Rzut stereograficzny lub odwzorowanie stereograficzne – przekształcenie geometryczne, rzut środkowy sfery na płaszczyznę, w którym środkiem rzutu jest punkt sfery, zaś rzutnia jest styczna do sfery w antypodzie środka rzutu.
Podstawowe własności[edytuj | edytuj kod]
Odwzorowanie stereograficzne jest wzajemnie jednoznaczne ze sfery z wyłączonym jednym punktem (środkiem rzutu) na płaszczyznę.
Odwzorowanie to jest wiernokątne: dwie linie na sferze i ich obrazy na płaszczyźnie przecinają się pod takim samym kątem (zob. Kąt między dwiema krzywymi).
Każdy okrąg na sferze, „przechodzący”[a] przez środek rzutu, odwzorowuje się na prostą na płaszczyźnie, zaś każdy inny okrąg na sferze odwzorowuje się na okrąg na płaszczyźnie.
W przekształceniu odwrotnym każda prosta na płaszczyźnie–rzutni odwzorowuje się na okrąg na sferze „przechodzący” przez środek rzutu, każdy okrąg na rzutni odwzorowuje się na okrąg na sferze.
Z dwu powyższych własności wynika, że w odwzorowaniu stereograficznym odwrotnym rodzina prostych równoległych na płaszczyźnie odwzorowuje się na rodzinę okręgów na sferze, „stycznych” w środku rzutu.
W kartografii[edytuj | edytuj kod]
Odwzorowanie stereograficzne znane było w starożytnej Grecji – jego matematyczny opis dał Hipparchos z Nikei (II wiek p.n.e.).
W kartografii jest stosowane głównie (choć nie tylko) do przedstawiania obszarów podbiegunowych. Od innych rodzajów odwzorowania azymutalnego różni się tym, że jest wiernokątne, nie zachowuje jednak odległości ani pól.
W krystalografii[edytuj | edytuj kod]
Odwzorowanie stereograficzne zostało wprowadzone do krystalografii w 1839 przez W.H. Millera.
Stosuje się je w celu wiernej prezentacji kątów pomiędzy normalnymi ścian. Umożliwia ona przedstawienie trójwymiarowych obiektów na płaszczyźnie z wiernym zachowaniem kątów.
Każda ściana, każda prosta i punkt reprezentowane są przez rzut punktu przecięcia sfery przez normalną na płaszczyznę równikową.
Uwagi[edytuj | edytuj kod]
- ↑ Ściśle ujmując, rzutowany okrąg nie może przechodzić przez środek rzutu, ponieważ środek rzutu jest wyłączony z rzutowania (sam ze sobą nie definiuje prostej rzutującej, bo do zdefiniowania prostej niezbędne są dwa różne punkty). W tym przypadku mamy więc rzutowanie okręgu z wyłączonym jednym punktem – stąd cudzysłów.
