Rzut stereograficzny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Z - środek rzutu, P′ - obraz punktu P
Panorama sferyczna wykonana przy użyciu stereograficznej projekcji
Przykład stereograficzne projekcji 3D z bieguna północnego na płaszczyźnie poniżej kuli

Rzut stereograficzny lub odwzorowanie stereograficzne – przekształcenie geometryczne, rzut środkowy sfery na płaszczyznę, w którym środkiem rzutu jest punkt sfery, zaś rzutnia jest styczna do sfery w antypodzie środka rzutu.

Podstawowe własności[edytuj | edytuj kod]

Odwzorowanie stereograficzne jest wzajemnie jednoznaczne ze sfery z wyłączonym jednym punktem (środkiem rzutu) na płaszczyznę.

Odwzorowanie to jest wiernokątne: dwie linie na sferze i ich obrazy na płaszczyźnie przecinają się pod takim samym kątem (zob. Kąt między dwiema krzywymi).

Każdy okrąg na sferze, "przechodzący"[a] przez środek rzutu, odwzorowuje się na prostą na płaszczyźnie, zaś każdy inny okrąg na sferze odwzorowuje się na okrąg na płaszczyźnie.
W przekształceniu odwrotnym każda prosta na płaszczyźnie–rzutni odwzorowuje się na okrąg na sferze "przechodzący" przez środek rzutu, każdy okrąg na rzutni odwzorowuje się na okrąg na sferze.

Z dwu powyższych własności wynika, że w odwzorowaniu stereograficznym odwrotnym rodzina prostych równoległych na płaszczyźnie odwzorowuje się na rodzinę okręgów na sferze, "stycznych" w środku rzutu.

W kartografii[edytuj | edytuj kod]

Odwzorowanie stereograficzne znane było w starożytnej Grecji – jego matematyczny opis dał Hipparchos z Nikei (II wiek p.n.e.).

W kartografii jest stosowane głównie (choć nie tylko) do przedstawiania obszarów podbiegunowych. Od innych rodzajów odwzorowania azymutalnego różni się tym, że jest wiernokątne, nie zachowuje jednak odległości ani pól.

W krystalografii[edytuj | edytuj kod]

Odwzorowanie stereograficzne zostało wprowadzone do krystalografii w 1839 przez W.H. Millera.

Stosuje się je w celu wiernej prezentacji kątów pomiędzy normalnymi ścian. Czyli umożliwia ona nam przedstawienie trójwymiarowych obiektów na płaszczyźnie z wiernym zachowaniem kątów.

Każda ściana, każda prosta i punkt reprezentowane są przez rzut punktu przecięcia sfery przez normalną na płaszczyznę równikową.

Uwagi

  1. Ściśle ujmując, rzutowany okrąg nie może przechodzić przez środek rzutu, ponieważ środek rzutu jest wyłączony z rzutowania (sam ze sobą nie definiuje prostej rzutującej, bo do zdefiniowania prostej niezbędne są dwa różne punkty). W tym przypadku mamy więc rzutowanie okręgu z wyłączonym jednym punktem – stąd cudzysłów.
Wikimedia Commons