Rzut ukośny

Rzut ukośny - ruch w jednorodnym polu grawitacyjnym z prędkością początkową o kierunku ukośnym do kierunku pola. Ruch ten odpowiada ruchowi ciała rzuconego pod kątem do poziomu. Za rzut ukośny uznaje się też ruch ciała w kierunku ukośnym do jednorodnego pola elektrycznego.

Rzut ukośny w przypadku braku oporów ośrodka można rozważać jako ruch składający się z rzutu pionowego w górę oraz ruchu jednostajnego prostoliniowego.

Pole grawitacyjne

W artykule przyjęto kartezjański układ współrzędnych (x,y) z osią y równoległą do kierunku linii sił pola o zwrocie przeciwnym do pola czyli ku górze, oś x jest równoległa do składowej poziomej ruchu.

Poniższe wzory są prawdziwe dla obszaru ruchu znacznie mniejszych od rozmiarów Ziemi, oraz przy zaniedbaniu oporu i wyporu powietrza.

Warunki początkowe

Prędkość początkową można określić podając jej wartość ($v_{0}$) oraz kąt pod jakim zostało rzucone ciało (α). Równoważnym sposobem jest podanie składowej poziomej ($v_{0x}$) i pionowej prędkości ($v_{0y}$), między sposobami zachodzą związki:

$v_{0y} = v_{0} \cdot\sin \alpha$

$v_{0x} =v_{0} \cdot\cos \alpha$

Dynamika ruchu

Na ciało działa tylko skierowana pionowo w dół siła przyciągania ziemskiego, co wyrażają wzory:

$F_y = - m g$

$F_x = 0$

Składowe przyśpieszenia są równe:

$a_y = - \frac {F_y} m = - g$

$a_x = \frac {F_x} m = 0$

Prędkości

Prędkość chwilową w kierunku pionowym po czasie $t$ określa wzór:

$v_{y}=v_{y0} - g\cdot t = \sin \alpha \cdot v_{0} - g\cdot t$

Prędkość chwilowa w kierunku poziomym jest równa prędkości początkowej w tymże kierunku.

$v_{x} = \cos \alpha \cdot v_{0}$

Czas wznoszenia oraz lotu

Prędkość chwilowa w kierunku pionowym w momencie osiągnięcia przez ciało maksymalnej wysokości jest równa zeru, dlatego czas wznoszenia ($t_{w}$):

$t_{w} = \frac{v_{y0}} {g} = \frac {v_{0}\cdot\sin \alpha } {g}$

Czas lotu ciała, ($t_{c}$) zakładając, że upadnie on na tej samej wysokości co rozpoczęło ruch, jest podwojonym czasem wznoszenia.

$t_{c}=2\cdot t_{w}=\frac{2\cdot v_{0}\cdot \sin \alpha}{g}$

Maksymalna wysokość oraz zasięg

Maksymalna wysokość na jaką wzniesie się ciało (h_max):

$h_{max}=\frac{g\cdot t_{w}^2} {2}=\frac{(v_{0}\cdot\sin \alpha )^2} {2\cdot g}$

Zasięg rzutu (z):

$z = v_{x}\cdot t_{c} = \frac {2\cdot v_{0}^2\cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha} {g} = \frac {v_0^2 \cdot \sin {2\alpha}}{g}$

Położenie

Przyjmując za początek ruchu początek kartezjańskiego układu współrzędnych, położenia ciała po czasie $t$ określają równania:

$\begin{cases} x(t) = v_{0} t \cos \alpha \\ y(t) = v_{0} t \sin \alpha - \frac {g t^2}{2} \end{cases}$

Równanie toru rzutu ukośnego w układzie (X,Y):

$y=x \operatorname{tg} \alpha - \frac{g}{2 v_{0}^2 \cos^2 \alpha } x^2$

Równanie to jest równaniem paraboli o ramionach zwróconych w dół.

Dodatkowe informacje

Zwykle mówiąc o rzucie ukośnym, bez podania warunków, przyjmuje się ruch w ziemskim polu grawitacyjnym na średniej szerokości geograficznej, na poziomie morza, wówczas pole grawitacyjne ma przyspieszenie g=9,81m/s². Pomija się opór powietrza i niejednorodność pola grawitacyjnego.

Pole elektryczne

Powyższe wzory można zastosować do jednorodnego pola elektrycznego zastępując przyspieszenie ziemskie przyspieszeniem ciała w polu elektrycznym:

$a = \frac {qE} m$

gdzie:

q - ładunek elektryczny ciała,

E - natężenie pola elektrycznego,

m - masa ciała.

Szczególne przypadki

Gdy ciało rzucone jest poziomo, rzut ukośny staje się rzutem poziomym. Warunek rzutu poziomego odpowiada $v_{0y} = 0$, co jest równoważne $\sin\alpha = 0$, czyli $\alpha = 0^\circ$.

Gdy ciało rzucone jest pionowo, rzut ukośny staje się rzutem pionowym. Warunek rzutu pionowego odpowiada $v_{0x} = 0$, co jest równoważne $\cos\alpha = 0$, czyli $\alpha = 90^\circ$.

Gdy prędkość początkowa jest równa zero, wówczas rzut jest spadkiem swobodnym. Warunek spadku swobodnego odpowiada $v_{0x} = 0$ i $v_{0y} = 0$.