Słaba topologia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Słaba topologia – alternatywna (w stosunku do wyjściowej) topologia na danej przestrzeni liniowo-topologicznej, będąca uogólnieniem idei zbieżności po współrzędnych (w przypadku przestrzeni skończenie wymiarowych słaba topologia pokrywa się z wyjściową topologią).

Słaba topologia to najmniejsza topologia na przestrzeni liniowo-topologicznej, zwykle lokalnie wypukłej, w której wszystkie funkcjonały liniowe są ciągłe (w sensie mocnej topologii) – innymi słowy dla przestrzeni liniowo-topologicznej \scriptstyle X o nietrywialną przestrzeni sprzężonej (topologicznie) \scriptstyle X^* jest to topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń

\{x^*\colon x^*\in X^*\};

jeśli \tau jest (mocną) topologią w X, to słabą topologię oznacza się zwykle symbolem \tau^*. Innym sposobem wprowadzenia tej topologii jest podanie bazy otoczeń zera.

Przykład: rozpatrzmy nieskończony ciąg \scriptstyle (e_n) elementów przestrzeni \scriptstyle \ell_2, w którym kolejne elementy mają na \scriptstyle n-tym miejscu jedynkę, a na pozostałych zera. Ciąg ten jest słabo zbieżny do 0\in \scriptstyle \ell_2. Natomiast względem normy dany ciąg jest rozbieżny (mimo bycia ograniczonym).

Z kolei mocna zbieżność zawsze pociąga słabą. Słaba topologia zwiększa rodzinę zbiorów zwartych i rodzinę zbiorów domkniętych (mówi się wtedy o słabej zwartości, czy słabej domkniętości). Para topologii mocnej i słabej wspólnie stanowi ważne narzędzie analizy funkcjonalnej.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie rzeczywistą bądź zespoloną przestrzenią liniową oraz niech \mathcal{F} będzie niepustą rodziną funkcjonałów liniowych przestrzeni X taką, że dla każdego niezerowego x\in X istnieje f\in\mathcal{F} taki, że f(x)\neq 0. Wówczas

  • (X, +, \cdot, \tau(\mathcal{F})) jest przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą,
  • rodzina \mathcal{F} jest zawarta w przestrzeni sprzężonej (X, \tau(\mathcal{F}))^\star, ponadto jeśli \mathcal{F} sama jest przestrzenią liniową, to \mathcal{F}=(X,\tau(\mathcal{F}))^\star.
  • podzbiór A przestrzeni (X, \tau(\mathcal{F})) jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego f\in\mathcal{F} istnieje M\in [0,\infty), że dla każdego x\in A: |f(x)|\leqslant M,
  • ciąg punktów (x_n)_{n\in\mathbb{N}} przestrzeni X jest zbieżny do punktu x tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy \lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(x) dla każdego f\in\mathcal{F}.
  • Jeżeli przestrzeń liniowo-topologiczna jest nieskończenie wymiarowa, to każde jej słabe otoczenie zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową. Ponadto, przestrzeń ta nie jest lokalnie ograniczona.
  • Jeżeli przestrzeń liniowo-topologiczna jest lokalnie wypukła, to domknięcie zbioru wypukłego w wyjściowej topologii pokrywa się z domknięciem tego zbioru w sensie słabej topologii.
  • Twierdzenie Mazura: Niech X będzie metryzowalną przestrzenią liniowo-topologiczną lokalnie wypukłą. Jeżeli punkt x\in X jest słabą granicą ciągu (x_n)_{n\in\mathbb{N}} punktów tej przestrzeni, to jest granicą pewnego ciągu punktów otoczki wypukłej zbioru \{x_n\colon\, n\in\mathbb{N}\}.

Topologia *-słaba[edytuj | edytuj kod]

Niech (X,\mathcal{T}) będzie przestrzenią liniowo-topologiczną nad ciałem K liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Dla każdego x\in X można określić funkcjonał \Phi_x\colon X^\star\to K dany wzorem

\Phi_x(x^*)=x^* x.

Dla każdego x\in X funkcjonał \Phi_x jest liniowy ponadto dla każdego x^\star\in X^*\setminus\{0\} istnieje x\in X taki, że

\Phi_x(x^*)\neq 0.

Topologię \tau(\{\Phi_x\colon\, x\in X\}) wprowadzoną w zbiorze X^* przez rodzinę \{\Phi_x\colon\, x\in X\} nazywamy topologią *-słabą i oznaczamy symbolem {\mathcal{T}^w}^*.

Przestrzeń (X^*, {\mathcal{T}^w}^*) jest lokalnie wypukła, a rodzina

\{\{x^\star\in X^\star\colon\, |x^\star x_1|<\tfrac{1}{n_1}, \ldots, |x^\star x_m|<\tfrac{1}{n_m}\}\colon\, x_1,\ldots, x_m\in X, n_1,\ldots, n_m\in\mathbb{N}, m\in\mathbb{N}\}

jest jej bazą lokalną złożoną ze zbiorów zbalansowanych i wypukłych.

  • Jeżeli X^* jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to każde *-słabe otoczenie zera zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową.
  • Jeżeli X jest przestrzenią unormowaną oraz {\mathcal{T}^*} oznacza topologię wyznaczoną normę w przestrzeni X^*, to {\mathcal{T}^w}^*=({\mathcal{T}^*})^w wtedy i tylko wtedy, gdy X jest przestrzenią refleksywną.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001.