Skala betów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Skala betów – rosnący ciągły ciąg liczb kardynalnych indeksowany wszystkimi liczbami porządkowymi, w którym każdy kolejny wyraz jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów wyrazu poprzedniego.

Określenie[edytuj | edytuj kod]

Dla każdej liczby kardynalnej \kappa, symbol 2^\kappa oznacza moc rodziny wszystkich podzbiorów \kappa.

(i) \beth_0=\aleph_0 jest pierwszą nieskończoną liczbą porządkową,
(ii) \beth_{\alpha+1}=2^{\beth_\alpha},
(iii) jeśli \gamma\ jest liczbą graniczną, to
\beth_\gamma=\lim\limits_{\alpha<\gamma}\beth_\alpha=\bigcup\limits_{\alpha<\gamma}\beth_\alpha.

Ciąg \langle\beth_\alpha\colon\,\alpha\in {\mathbf{ON}}\rangle jest nazywany skalą betów lub hierarchią betów.

Konstrukcję tę można uogólnić. Niech \kappa\ będzie liczbą kardynalną.

  • Przez indukcję po liczbach porządkowych \alpha\in {\mathbf{ON}} zdefiniować można ciąg \langle\beth_\alpha(\kappa)\colon\,\alpha\in {\mathbf{ON}}\rangle:
(a) \beth_0(\kappa)=\kappa,
(b) \beth_{\alpha+1}(\kappa)=2^{\beth_\alpha(\kappa)},
(c) jeśli \gamma\ jest liczbą graniczną, to
\beth_\gamma(\kappa)=\lim\limits_{\alpha<\gamma}\beth_\alpha(\kappa)=\bigcup\limits_{\alpha<\gamma}\beth_\alpha(\kappa).

Własności i przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • \beth_\alpha=\beth_\alpha(\aleph_0) dla każdego \alpha\ .
  • Przyjmując aksjomatykę Zermelo-Fraenkela, hipoteza continuum (CH) to zdanie stwierdzające, że \beth_1=\aleph_1, a uogólniona hipoteza continuum (GCH) mówi, że (\forall \alpha\in {\mathbf{ON}})(\beth_\alpha=\aleph_\alpha).
  • \beth_1 jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych, a więc także jest mocą zbioru {\mathbb R} wszystkich liczb rzeczywistych.
  • \beth_2 jest mocą zbioru wszystkich podzbiorów zbioru {\mathbb R}, a więc także mocą zbioru wszystkich funkcji z {\mathbb R} w {\mathbb R}.
  • Istnieją liczby porządkowe \alpha\ takie, że \alpha=\beth_\alpha (są to tzw. punkty stałe skali betów). Jeśli \kappa\ jest liczbą silnie nieosiągalną, to \beth_\kappa=\kappa, ale punkty stałe skali betów można spotkać dużo wcześniej. Pierwszą taką liczbą jest granica (kres górny) ciągu \beth_0, \beth_{\beth_0}, \beth_{\beth_{\beth_0}},\ldots
  • \beth_\omega ma tę ciekawą własność, że jest pierwszą nieprzeliczalną silnie graniczną liczbą kardynalną: dla każdej liczby kardynalnej \kappa<\beth_\omega mamy również 2^\kappa<\beth_\omega.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]