Spektrum pierścienia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Spektrum pierścienia - dla danego pierścienia przemiennego z jednością A, zbiór Spec(A) złożony ze wszystkich ideałów pierwszych w A wraz z tzw. topologią Zariskiego, tj. topologią, w której rodziną zbiorów domkniętych jest

\mathcal F =  \{V(E)\colon E \subseteq A\}

przy czym dla dowolnego podzbioru E pierścienia A symbol V(E) oznacza zbiór wszystkich ideałów pierwszych zawierających E.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Punkt w przestrzeni Spec(A) jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jest ideałem maksymalnym (nie może zawierać się w żadnym innym ideale pierwszym, a każdy ideał maksymalny jest pierwszy). Spektrum pierścienia nie jest więc (poza przypadkiem pierścienia trywialnego) przestrzenią T1, ani tym bardziej przestrzenią Hausdorffa.
  • Jeśli punkt x przestrzeni Spec(A) należy do domknięcia innego punktu y tej przestrzeni, to y jako zbiór jest zawarty w x (skoro x jest elementem V(y), to musi zawierać zbiór y).

Struktura zbiorów otwartych w topologii Zariskiego[edytuj | edytuj kod]

Z definicji topologii Zariskiego wynika, że rodziną zbiorów otwartych w Spec (A) jest

\{\operatorname{Spec}(A)\setminus V(E)\colon\; E\subseteq A\},

Dla każdego elementu f pierścienia A niech D(f) oznacza dopełnienie w Spec(A) zbioru V({f}) (będące zbiorem otwartym). Zbiory D(f) składają się z tych wszystkich tych ideałów pierwszych pierścienia A, które nie zawierają elementu f. Ponadto,

  • zbiory D(f) tworzą bazę otoczeń otwartych topologii Zariskiego.
  • zbiór D(f) jest pusty wtedy i tylko wtedy, gdy element f jest nilpotentny.
  • zbiór D(f) jest równy Spec(A) wtedy i tylko wtedy, gdy element f jest jednością w pierścieniu A.
  • przestrzeń Spec(A) jest zwarta, a każdy zbiór D(f), jako domknięty podzbiór przestrzeni zwartej, jest podprzestrzenią zwartą przestrzeni Spec(A).
  • zbiór otwarty w Spec(A) jest podprzestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy można go przedstawić w postaci sumy skończenie wielu zbiorów postaci D(f).

Spójność przestrzeni Spec(A)[edytuj | edytuj kod]

Składowymi nieprzywiedlnymi przestrzeni Spec(A) są zbiory V({p}), gdzie p jest minimalnym ideałem pierwszym pierścienia A. Spec(A) jest przestrzenią nieprzywiedlną wtedy i tylko wtedy, gdy nilradykał pierścienia A jest ideałem pierwszym.

Spektrum jako schemat afiniczny[edytuj | edytuj kod]

Na przestrzeni topologicznej Spec(A) można zdefiniować snop pierścieni \mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}. Mianowicie, dla f \in A określmy \mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)}(D(f)) = A_f, lokalizacja pierścienia A w f. Ponieważ dla różnych f \in A, zbiory D(f) tworzą bazę topologii Spec(A), oraz dla D(g) \subseteq D(f), istnieje naturalne odwzorowanie A_f \to A_g, łatwo się przekonać, że to wystarczy do określenia wartości snopa na wszystkich otwartych podzbiorach Spec(A).

Przestrzeń Spec(A) wraz z tak określonym snopem \mathcal{O}_{\mathrm{Spec}(A)} nazywa się schematem afinicznym powiązanym z pierścieniem A. Schematy afiniczne są istotnym elementem konstrukcji ogólnych schematów -- odgrywają podobną rolę do otwartych podzbiorów \mathbb{R}^n w konstrukcji rozmaitości topologicznych bądź różniczkowych.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Pierścień liczb całkowitych jest pierścieniem ideałów głównych. Ideałami pierwszymi są w nim ideały postaci (p), gdzie p jest liczbą pierwszą:

\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}) = \{(0)\} \cup \{(p)\colon p\text{ -- liczba pierwsza}\}.

Niezerowe ideały pierwsze w tym pierścieniu są ideałami maksymalnymi, czyli każdy punkt (p) przestrzeni \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}) jest domknięty (punkt (0) domknięty nie jest). Ponadto, jeśli E jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych, to do zbioru V(E) należą te i tylko te ideały pierwsze (p) (ewentualnie (0), gdy E \subseteq \{0\}), dla których liczba p dzieli każdą liczbę m należącą do E, tj.

V(E) \subseteq V(m).

W szczególności, każdy zbiór V(E) jest skończony.

Na odwrót, dla dowolnego skończonego zbioru liczb pierwszych p_1,\ldots,p_k jeśli n jest ich iloczynem, to V(n)=\{(p_1),\ldots,(p_k)\}. Stąd wynika, że jedynymi zbiorami domkniętymi w \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}) są zbiory skończone i zbiór \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}). Dwa zbiory otwarte w \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}) mają więc nieskończenie wiele punktów wspólnych, a sama przestrzeń jest nieprzywiedlna.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • M. F. Atiyah, I. G. Macdonald: Introduction to commutative algebra (tłum. ros.). Mir, 1972, s. 22, 23.