Spektrum pierścienia

Spektrum pierścienia - dla danego pierścienia przemiennego z jednością A, zbiór Spec(A) złożony ze wszystkich ideałów pierwszych w A wraz z tzw. topologią Zariskiego, tj. topologią, w której rodziną zbiorów domkniętych jest

$\mathcal F = \{V(E)\colon E \subseteq A\}$

przy czym dla dowolnego podzbioru E pierścienia A symbol V(E) oznacza zbiór wszystkich ideałów pierwszych zawierających E.

Własności

• Punkt w przestrzeni Spec(A) jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jest ideałem maksymalnym (nie może zawierać się w żadnym innym ideale pierwszym, a każdy ideał maksymalny jest pierwszy). Spektrum pierścienia nie jest więc (poza przypadkiem pierścienia trywialnego) przestrzenią T₁, ani tym bardziej przestrzenią Hausdorffa.

• Jeśli punkt x przestrzeni Spec(A) należy do domknięcia innego punktu y tej przestrzeni, to y jako zbiór jest zawarty w x (skoro x jest elementem V(y), to musi zawierać zbiór y).

• Spec(A) jest przestrzenią T₀.

Struktura zbiorów otwartych w topologii Zariskiego

Z definicji topologii Zariskiego wynika, że rodziną zbiorów otwartych w Spec (A) jest

$\{\operatorname{Spec}(A)\setminus V(E)\colon\; E\subseteq A\}$,

Dla każdego elementu f pierścienia A niech X_f oznacza dopełnienie w Spec(A) zbioru V({f}) (będące zbiorem otwartym). Zbiory X_f składają się z tych wszystkich tych ideałów pierwszych pierścienia A, które nie zawierają elementu f. Ponadto,

• zbiory X_f tworzą bazę otoczeń otwartych topologii Zariskiego.
• zbiór X_f jest pusty wtedy i tylko wtedy, gdy element f jest nilpotentny.
• zbiór X_f jest równy Spec(A) wtedy i tylko wtedy, gdy element f jest jednością w pierścieniu A.
• przestrzeń Spec(A) jest zwarta, a każdy zbiór X_f, jako domknięty podzbiór przestrzeni zwartej, jest podprzestrzenią zwartą przestrzeni Spec(A).
• zbiór otwarty w Spec(A) jest podprzestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy można go przedstawić w postaci sumy skończenie wielu zbiorów postaci X_f.

Spójność przestrzeni Spec(A)

Składowymi nieprzywiedlnymi przestrzeni Spec(A) są zbiory V({p}), gdzie p jest minimalnym ideałem pierwszym pierścienia A. Spec(A) jest przestrzenią nieprzywiedlną wtedy i tylko wtedy, gdy nilradykał pierścienia A jest ideałem pierwszym.

Przykłady

Pierścień liczb całkowitych jest pierścieniem ideałów głównych. Ideałami pierwszymi są w nim ideały postaci $(p)$, gdzie $p$ jest liczbą pierwszą:

$\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}) = \{(0)\} \cup \{(p)\colon p\text{ -- liczba pierwsza}\}$.

Niezerowe ideały pierwsze w tym pierścieniu są ideałami maksymalnymi, czyli każdy punkt $(p)$ przestrzeni $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ jest domknięty (punkt $(0)$ domknięty nie jest). Ponadto, jeśli $E$ jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych, to do zbioru $V(E)$ należą te i tylko te ideały pierwsze $(p)$ (ewentualnie $(0)$, gdy $E \subseteq \{0\}$), dla których liczba $p$ dzieli każdą liczbę $m$ należącą do $E$, tj.

$V(E) \subseteq V(m)$.

W szczególności, każdy zbiór $V(E)$ jest skończony.

Na odwrót, dla dowolnego skończonego zbioru liczb pierwszych $p_1,\ldots,p_k$ jeśli $n$ jest ich iloczynem, to $V(n)=\{(p_1),\ldots,(p_k)\}$. Stąd wynika, że jedynymi zbiorami domkniętymi w $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ są zbiory skończone i zbiór $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$. Dwa zbiory otwarte w $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ mają więc nieskończenie wiele punktów wspólnych, a sama przestrzeń jest nieprzywiedlna.

Bibliografia

• M. F. Atiyah, I. G. Macdonald: Introduction to commutative algebra (tłum. ros.). Mir, 1972, s. 22, 23.