Spinor

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Spinor to obiekt geometryczny o specyficznych własnościach transformacyjnych. Spinory transformują się względem reprezentacji spinorowej (ułamkowej) grupy przekształceń.

Reprezentacje[edytuj | edytuj kod]

W przestrzeni egzystują różne obiekty geometryczne. Aby opisać obiekty geometryczne, wprowadzamy układ współrzędnych, pozwalający na wyrażenie składowych obiektów geometrycznych. Układ współrzędnych można wybrać na wiele sposobów. Składowe obiektów geometrycznych są inne w każdym układzie współrzędnych.

Aby przeprowadzić jeden układ współrzędnych w drugi, podaje się transformację zamieniającą wektory bazowe pierwszego układu współrzędnych na wektory bazowe drugiego. Transformacje układów tworzą grupę.

Reprezentacja grupy jest to taki zbiór macierzy, że każdemu elementowi grupy odpowiada jakaś macierz i elementowi będącemu wynikiem działania grupowego elementów \; A \; i \; B \; odpowiada macierz będąca iloczynem macierzy odpowiadającej elementowi \; A \; i macierzy odpowiadającej elementowi \; B \;. Reprezentacja jest więc homomorfizmem grupy w algebrę macierzy z mnożeniem.

Macierz odpowiadającą elementowi \; A \; oznaczać będziemy symbolem \; D(A) \;. Gwiazdka oznacza działanie grupowe.

\; D(A * B) = D(A) D(B) \;

Termin macierz może się czasem odnosić do trywialnej macierzy 1x1, którą można utożsamić ze zwykłą liczbą.

Czasami zamiast mnożenia macierzy bierze się jakieś inne proste działanie na macierzach. Na przykład może to być 'mnożenie odwrotne' (jak wiadomo, mnożenie macierzy nie jest przemienne). Działanie to musi być łączne. W takim wypadku reprezentacja jest więc antyhomomorfizmem grupy w algebrę macierzy.

\; D(A * B) = D(B) D(A) \;

Przykłady reprezentacji[edytuj | edytuj kod]

Najprostszą, trywialną reprezentacją każdej grupy jest przyporządkowanie każdemu elementowi liczby 1.

\; D(A) = 1 \;
\; D(A * B) = 1 = 1 \cdot 1 = D(A) D(B) \;

Z inną trywialną reprezentacją mamy do czynienia, jeżeli wyjściowa grupa sama jest grupą macierzy. Możemy wtedy za reprezentację przyjąć samą tę grupę.

\; D(A) = A \;
\; D(A B) = A B = D(A) D(B) \;

Nietrywialną reprezentacją może być reprezentacja pseudowektorowa. Macierz reprezentacji jest macierzą odwrotną do macierzy wyjściowej pomnożoną przez jej wyznacznik. Zamiast mnożenia macierzy bierzemy 'mnożenie odwrotne'.

\; D(A) = \det(A) A^{-1} \;
\; D(A B) = \det(B) B^{-1} \det(A) A^{-1} = D(B) D(A)

Reprezentacja spinorowa[edytuj | edytuj kod]

Każdy obiekt geometryczny przekształca się względem jakiejś reprezentacji. Więcej na ten temat w artykule Tensor.

Spinory przekształcają się względem następującej reprezentacji. Wyprowadzenie to dotyczy tylko trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Rozważamy wyłącznie izometryczne przekształcenia układów współrzędnych, czyli obroty i odbicia.

Każdemu wektorowi \; [a, b, c] \; przyporządkujmy macierz 2x2 o składowych zespolonych:

\; S([a, b, c]) = \begin{bmatrix} c & a - b i \\ a + b i & - c \end{bmatrix} \;

Macierze te spełniają równanie: (\; I \; - macierz jednostkowa, \; |v| \; - długość wektora)

\; S(v) S(v) = |v|^{2} I \;

Dla każdego odbicia zdefiniujmy jednostkowy wektor prostopadły do płaszczyzny odbicia. Każdemu odbiciu przyporządkowujemy macierz \; S \; odpowiadającą temu wektorowi. (\; R(u) \; - odbicie względem płaszczyzny prostopadłej do jednostkowego wektora \; u \;)

\; D(R(u)) = S(u) \;

Każdy obrót można przedstawić jako złożenie dwóch odbić. Każdemu obrotowi \; O = R(u) R(v) \; przyporządkowujemy więc macierz będącą iloczynem macierzy \; S \; odpowiadających tym odbiciom:

\; D(O) = D(R(u) R(v)) = S(u) S(v) \;

Tak zdefiniowany zbiór macierzy \; D \; spełnia wszystkie założenia bycia reprezentacją. W szczególności w każdej reprezentacji przekształceniu tożsamościowemu powinna odpowiadać macierz jednostkowa. Każde odbicie złożone samo ze sobą daje przekształcenie tożsamościowe. Na mocy równania \; S(v) S(v) = |v|^{2} I \; macierz odpowiadająca przekształceniu tożsamościowemu jest macierzą jednostkową.

Spinory[edytuj | edytuj kod]

Dla każdej reprezentacji istnieją obiekty geometryczne, których składowe przekształcają się zgodnie z nią. Dla reprezentacji spinorowej obiekty te nazywamy spinorami.

Spinor jest to wektor kolumnowy o składowych zespolonych taki, że jeżeli jeden układ współrzędnych przekształca się w drugi pod wpływem transformacji \; T \;, to składowe spinora w tych układach wiąże wzór:

\; \begin{bmatrix} f' \\ g' \end{bmatrix} = D(T) \begin{bmatrix} f \\ g \end{bmatrix} \;

gdzie \; D(T) \; jest macierzą zdefiniowaną w poprzednim akapicie.

Spinory posiadają kilka mało intuicyjnych właściwości. M.in. jeżeli poddamy spinor obrotowi o 360 stopni, to zmieni on znak na przeciwny.

Definicja intuicyjna[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie spinora można przybliżyć w następujący sposób:

Zwykłe wektory to obiekty, które posiadają długość i kierunek. O spinorach można powiedzieć, że są swego rodzaju wektorami, które posiadają długość, kierunek oraz pewną dodatkową właściwość związaną z orientacją w przestrzeni. Można wyobrazić sobie spinor jako wektor, do którego przyczepiona jest jednym końcem elastyczna gumowa taśma pewnej szerokości. Drugi koniec taśmy przytwierdzony jest do którejkolwiek ze ścian. Spinory oprócz długości i kierunku niosą informację, czy taśma jest skręcona parzystą czy nieparzystą ilość razy. Po obrocie spinora o 360 stopni ilość skręceń na taśmie zmienia się z parzystej na nieparzystą lub na odwrót, co dla składowych spinora oznacza, że mają przeciwny znak. Dwa niezerowe spinory, których wszystkie współrzędne są do siebie wzajemnie przeciwne, mają ten sam kierunek, ale wykazują inną parzystość skręceń taśmy. Obrót każdego spinora o 720 stopni przywraca go do oryginalnego stanu.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Spinory pojawiają się w fizyce, w szczególności w mechanice kwantowej, np. funkcje falowe cząstek o ułamkowym spinie jak elektron lub inne fermiony, są opisywane właśnie za pomocą spinorów. Powoduje to pojawienie się szeregu doniosłych i często sprzecznych z intuicją efektów jak np. zakaz Pauliego.

Spinory istnieją w przestrzeniach o dowolnej liczbie wymiarów, jednak dla każdej liczby wymiarów trzeba osobno definiować macierze reprezentacji spinorowej. Jest to sytuacja inna niż w przypadku zwykłych tensorów, gdzie istnieje jeden ogólny schemat definiowania macierzy reprezentacji dla dowolnej liczby wymiarów. Reprezentacja spinorowa ma wyraźnie inną postać w przestrzeniach o parzystej liczbie wymiarów w porównaniu do przestrzeni nieparzyście wymiarowych. Jedną z konsekwencji takiego stanu rzeczy jest fakt, że w pewnych konkretnych przestrzeniach spinory wykazują pewne dodatkowe właściwości, których nie mają w innej liczbie wymiarów. Kiedy odkryto teorię strun, zauważono, że jest matematycznie spójna tylko w przestrzeni dziesięcio- lub dwudziestosześciowymiarowej. Jest to właśnie odbicie szczególnych właściwości spinorów w tych przestrzeniach.