Splot (teoria grup)

Splot lub produkt splotowy – w teorii grup szczególny rodzaj produktu grup opartego na produkcie półprostym. Splot jest ważnym narzędziem ułatwiającym klasyfikację grup permutacji i konstrukcję interesujących przykładów grup.

Konstrukcja

Niech $H$ i $K$ będą grupami działającymi odpowiednio na zbiorach $X$ oraz $Y.$ Dla $h \in H,\ y \in Y$ oraz $k \in K$ definiuje się następujące permutacje $h_\mathrm y$ oraz $k^\star$ zbioru $Z = X \times Y:$

$h_\mathrm y\colon \begin{cases} (\mathrm x, \mathrm y) \mapsto (h \cdot \mathrm x, \mathrm y), \\ (\mathrm x, \hat\mathrm y) \mapsto (\mathrm x, \hat\mathrm y) \mbox{ dla } \hat\mathrm y \ne \mathrm y\end{cases}$

oraz

$k^\star\colon (\mathrm x, \mathrm y) \mapsto (\mathrm x, k \cdot \mathrm y).$

Ponieważ $\left(h^{-1}\right)_\mathrm y = \left(h_\mathrm y\right)^{-1}$ oraz $\left(k^{-1}\right)^\star = \left(k^\star\right)^{-1},$ to $h_\mathrm y$ oraz $k^\star$ istotnie są permutacjami, przez co są dobrze określone. Funkcje $h \mapsto h_\mathrm y$ przy ustalonym $\mathrm y \in Y$ oraz $k \mapsto k^\star$ są monomorfizmami odpowiednio grup $H$ oraz $K$ w grupę $\operatorname{Sym}(Z)$ o obrazach odpowiednio $H_\mathrm y$ oraz $K^\star.$

Splotem lub produktem splotowym grup $H$ oraz $K$ nazywa się grupę permutacji na $Z$ generowaną przez $K^\star$ i grupy $H_\mathrm y$ dla wszystkich $\mathrm y \in Y.$ W zapisie symbolicznym

$H \wr K = \langle H_\mathrm y, K^\star\colon \mathrm y \in Y\rangle.$

Ponieważ $k^\star h_\mathrm y \left(k^\star\right)^{-1}$ przekształca $(\mathrm x, k \cdot \mathrm y)$ w element $(h \cdot \mathrm x, k \cdot \mathrm y)$ i nie porusza $(\hat\mathrm x, \hat\mathrm y),$ o ile $\hat\mathrm y \ne k \cdot \mathrm y,$ to z definicji jest

$k^\star h_\mathrm y \left(k^\star\right)^{-1} = h_{k \cdot \mathrm y}$ oraz $k^\star H_\mathrm y \left(k^\star\right)^{-1} = H_{k \cdot \mathrm y}.$

(1)

Ponadto jeśli $\mathrm y \ne \hat\mathrm y,$ to permutacje $h_\mathrm y$ i $h_{\hat\mathrm y}$ nie mogą poruszyć tego samego elementu $Z.$ Wynika stąd, że grupy $H_\mathrm y$ generują swój iloczyn prosty $B$ nazywany zwykle nośnikiem (ang. base group) splotu:

$B = \bigoplus_{\mathrm y \in Y} H_\mathrm y.$

Zgodnie z (1) sprzężenie elementem $k^\star \in K^\star$ permutuje składniki proste $H_\mathrm y$ dokładnie w ten sam sposób, co $k$ elementy $Y.$ Skoro elementy $K^\star$ oraz $B$ nie mogą poruszać tego samego elementu $Z,$ to grupa $K^\star \cap B$ musi być trywialna. Ponieważ $B \triangleleft W$ oraz $W = K^\star B,$ to $W$ jest iloczynem półprostym $B$ przez $K^\star,$ w którym automorfizm $B$ wyznaczany przez element $K^\star$ zadany jest wzorem (1). Dla uproszczenia notacji utożsamia się zwykle element $k^\star$ z elementem $k,$ czyli przyjmuje $K = K^\star.$

Własności

• Jeśli $H$ oraz $K$ działają w sposób przechodni, to również $H \wr K$ działa w ten sposób.
• Niech $L$ będzie grupą permutacji zbioru $U,$ zaś $f\colon (X \times Y) \times U \to X \times (Y \times U)$ będzie bijekcją odwzorowującą $\Big((\mathrm x, \mathrm y), \mathrm u\Big) \mapsto \Big(\mathrm x, (\mathrm y, \mathrm u)\Big),$ a $\varphi$ funkcją $g \mapsto f\left(g \cdot f^{-1}\right),$ tzn. dla dowolnego $\mathrm y \in Y$ zachodzi $g \cdot \mathrm y \mapsto f\Big(g \cdot f^{-1}(\mathrm y)\Big).$ Wówczas $(\varphi, f)$ ustanawia podobieństwo $(H \wr K) \wr L$ oraz $H \wr (K \wr L).$ Innymi słowy splot jest działaniem łącznym względem podobieństwa grup.

Uogólnienia

Niech $N$ oraz $G$ będą dowolnymi grupami. Niech dla każdego $x \in G$ symbol $N_x$ oznacza grupę izomorficzną z $N$ poprzez przekształcenie $a \mapsto a_x.$ Niech

$B = \prod_{x \in G} N_x$

będzie iloczynem kartezjańskim, zaś dla $b \in B$ oraz $g \in G$ niech działanie $g \cdot b$ dane będzie wzorem

$(g \cdot b)_x = b_{g^{-1}x}.$

Powyższe działanie $G$ na $B$ zadaje iloczyn półprosty $W = G \ltimes B,$ który nazywa się standardowym zupełnym splotem $N\ \bar\wr\ B,$ przy czym $B$ nazywa się nośnikiem (ang. base group).

Linki zewnętrzne

• Konstrukcja na PlanetMath
• Konstrukcja na Springer Online