Splot (teoria grup)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy działania na grupach. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Splot lub produkt splotowy – w teorii grup szczególny rodzaj produktu grup opartego na produkcie półprostym. Splot jest ważnym narzędziem ułatwiającym klasyfikację grup permutacji i konstrukcję interesujących przykładów grup.

Konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Niech H i K będą grupami działającymi odpowiednio na zbiorach X oraz Y. Dla h \in H,\ y \in Y oraz k \in K definiuje się następujące permutacje h_\mathrm y oraz k^\star zbioru Z = X \times Y:

h_\mathrm y\colon \begin{cases} (\mathrm x, \mathrm y) \mapsto (h \cdot \mathrm x, \mathrm y), \\ (\mathrm x, \hat\mathrm y) \mapsto (\mathrm x, \hat\mathrm y) \mbox{ dla } \hat\mathrm y \ne \mathrm y\end{cases}

oraz

k^\star\colon (\mathrm x, \mathrm y) \mapsto (\mathrm x, k \cdot \mathrm y).

Ponieważ \left(h^{-1}\right)_\mathrm y = \left(h_\mathrm y\right)^{-1} oraz \left(k^{-1}\right)^\star = \left(k^\star\right)^{-1}, to h_\mathrm y oraz k^\star istotnie są permutacjami, przez co są dobrze określone. Funkcje h \mapsto h_\mathrm y przy ustalonym \mathrm y \in Y oraz k \mapsto k^\starmonomorfizmami odpowiednio grup H oraz K w grupę \operatorname{Sym}(Z) o obrazach odpowiednio H_\mathrm y oraz K^\star.

Splotem lub produktem splotowym grup H oraz K nazywa się grupę permutacji na Z generowaną przez K^\star i grupy H_\mathrm y dla wszystkich \mathrm y \in Y. W zapisie symbolicznym

H \wr K = \langle H_\mathrm y, K^\star\colon \mathrm y \in Y\rangle.

Ponieważ k^\star h_\mathrm y \left(k^\star\right)^{-1} przekształca (\mathrm x, k \cdot \mathrm y) w element (h \cdot \mathrm x, k \cdot \mathrm y) i nie porusza (\hat\mathrm x, \hat\mathrm y), o ile \hat\mathrm y \ne k \cdot \mathrm y, to z definicji jest

k^\star h_\mathrm y \left(k^\star\right)^{-1} = h_{k \cdot \mathrm y} oraz k^\star H_\mathrm y \left(k^\star\right)^{-1} = H_{k \cdot \mathrm y}.
(1)

Ponadto jeśli \mathrm y \ne \hat\mathrm y, to permutacje h_\mathrm y i h_{\hat\mathrm y} nie mogą poruszyć tego samego elementu Z. Wynika stąd, że grupy H_\mathrm y generują swój iloczyn prosty B nazywany zwykle nośnikiem (ang. base group) splotu:

B = \bigoplus_{\mathrm y \in Y} H_\mathrm y.

Zgodnie z (1) sprzężenie elementem k^\star \in K^\star permutuje składniki proste H_\mathrm y dokładnie w ten sam sposób, co k elementy Y. Skoro elementy K^\star oraz B nie mogą poruszać tego samego elementu Z, to grupa K^\star \cap B musi być trywialna. Ponieważ B \triangleleft W oraz W = K^\star B, to W jest iloczynem półprostym B przez K^\star, w którym automorfizm B wyznaczany przez element K^\star zadany jest wzorem (1). Dla uproszczenia notacji utożsamia się zwykle element k^\star z elementem k, czyli przyjmuje K = K^\star.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Niech N oraz G będą dowolnymi grupami. Niech dla każdego x \in G symbol N_x oznacza grupę izomorficzną z N poprzez przekształcenie a \mapsto a_x. Niech

B = \prod_{x \in G} N_x

będzie iloczynem kartezjańskim, zaś dla b \in B oraz g \in G niech działanie g \cdot b dane będzie wzorem

(g \cdot b)_x = b_{g^{-1}x}.

Powyższe działanie G na B zadaje iloczyn półprosty W = G \ltimes B, który nazywa się standardowym zupełnym splotem N\ \bar\wr\ B, przy czym B nazywa się nośnikiem (ang. base group).

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]