Sprzężenie hermitowskie

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.


Macierz ikona.png

Niektóre typy macierzy
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz zerowa

Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
potęgowanie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana

Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny
edytuj ten szablon

Sprzężenie hermitowskie – w ujęciu analizy funkcjonalnej konstrukcja matematyczna w teorii przestrzeni Hilberta w wyniku której otrzymuje się operator dualny (sprzężony) do danego.

Spis treści

[edytuj] Definicja ogólna

Niech H będzie przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym \langle x,y \rangle, zaś T operatorem liniowym ograniczonym na H. Z twierdzenia Riesza o reprezentacji funkcjonału wynika, że dla każdego y\in H istnieje dokładnie jeden element z \in H taki, że równość

\langle Tx,y \rangle = \langle x,z \rangle

zachodzi dla wszystkich x\in H.

Ponadto odwzorowanie y \mapsto z jest operatorem liniowym ograniczonym na H. Operator ten nazywamy operatorem sprzężonym (dualnym) do T i oznaczamy symbolem T^\star. Innymi słowy, istnieje dokładnie jeden operator T^\star: H \to H, dla którego zachodzi

\forall_{x,y \in H}\;\langle Tx,y \rangle = \langle x,T^\star y \rangle.

Powyższą konstrukcję nazywa się operacją sprzężenia hermitowskiego. W żargonie jednak sprzężeniem hermitowskim nazywa się też sam operator T^\star (wynik konstrukcji). Tak więc operator T^\star jest antyautomorfizmem algebry operatorów liniowych w przestrzeni Hilberta.

Istnieją dwie główne konwencje oznaczeń operatora sprzężonego. Matematycy używają symbolu gwiazdki T^\star, natomiast fizycy zwykle używają krzyżyka, tzn. T^\dagger.

[edytuj] Macierze

Sprzężenie hermitowskie macierzy – określone dla macierzy zespolonych złożenie operacji transpozycji i trywialnego sprzężenia zespolonego.

Sprzężeniem hermitowskim macierzy formalnie nazywamy więc odwzorowanie

\cdot^\star: M_n(\mathbb C) \to M_n(\mathbb C)

takie, że dla A \in M_{n}(\mathbb C) zachodzi

A=(a_{ij}) \mapsto A^\star = (\overline {a_{ji}}),

czyli

A^\star = \overline A^T = \overline {A^T}.

[edytuj] Przykład

A=\begin{bmatrix} 2 & 1-2i & i \\ 1+2i & -2 & 3+2i \\ -i & 3-2i & 5 \end{bmatrix} \mapsto A^\star = \begin{bmatrix} 2 & 1-2i & i \\ 1+2i & -2 & 3+2i \\ -i & 3-2i & 5 \end{bmatrix}

Zauważ, że w przykładzie tym zaprezentowano macierz samosprzężoną, dlatego też sprzężenie hermitowskie macierzy A jest równe jej samej.


Inny przykład:

A=\begin{bmatrix} 1 & 100-999i & 0 \\ 1+2i & 2+3i & 0 \\ -i & 3-4i & 3 \end{bmatrix} \mapsto A^\star = \begin{bmatrix} 1 & 1-2i & i \\ 100+999i & 2-3i & 3+4i \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}

[edytuj] Operatory samosprzężone

Operator hermitowski, samosprzężony – ograniczony operator liniowy określony na skończeniewymiarowej przestrzeni Hilberta, równy swemu operatorowi sprzężonemu, tzn. taki, że

T=T^\star

W szczególnym przypadku macierzy, macierz hermitowska (samosprzężona) A to taka, która jest równa transpozycji swojego sprzężenia:

A = A^\star = {\overline A^T}, czyli a_{ij} = \overline {a_{ji}}.

[edytuj] Własności

Załóżmy, że λ jest wartością własną operatora T, czyli
\exists_{x \ne 0}\; Tx=\lambda x.
Mamy wówczas
\lambda \langle x,x \rangle= \langle \lambda x,x \rangle = \langle Tx,x \rangle = \langle x,Tx\rangle = \langle x, \lambda x \rangle = {\overline \lambda} \langle x, x \rangle.
Stąd też \lambda = \overline \lambda.

[edytuj] Zastosowania

W mechanice kwantowej operatory hermitowskie są używane do reprezentacji wielkości fizycznych i nazywane obserwablami ("wielkościami, które można obserwować"). Na przykład pęd i energia w mechanice kwantowej przestają być odpowiednio wektorem i skalarem jak w teorii klasycznej, a stają się bardziej abstrakcyjnymi operatorami w pewnej przestrzeni Hilberta.

[edytuj] *-algebry

Element x należący do *-algebry jest samosprzężony, gdy x * = x.

Zbiór C elementów *-algebry jest samosprzężony, jeśli jest zamknięty ze względu na operację inwolucji. Przykładowo, jeśli x * = y wtedy ponieważ y^*={x^*}^*=x należy do *-algebry, to zbiór {x,y} jest samosprzężony nawet, gdy elementy x,y nie są samosprzężone.

[edytuj] Zobacz też

Źródło „http://pl.wikipedia.org/wiki/Sprz%C4%99%C5%BCenie_hermitowskie”