Sprzężenie hermitowskie macierzy

Sprzężenie hermitowskie macierzy – złożenie operacji transpozycji i sprzężenia zespolonego macierzy zespolonych. Dokładniej, sprzężenie hermitowskie to odwzorowanie dane wzorem

$A=(a_{ij}) \mapsto A^* = (\overline {a_{ji}})$.

Innymi słowy.

$A^* = \overline A^T = \overline {A^T}$.

Uogólnieniem pojęcia sprzężenia hermitowskiego macierzy na operatory na przestrzeniach Hilberta jest pojęcie operatora sprzężonego.

Przykład

$A=\begin{bmatrix} 1 & 100-999i & 0 \\ 1+2i & 2+3i & 0 \\ -i & 3-4i & 3 \end{bmatrix} \mapsto A^* = \begin{bmatrix} 1 & 1-2i & i \\ 100+999i & 2-3i & 3+4i \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$

Własności

Niech A i B będą macierzami oraz niech $\lambda$ będzie liczbą zespoloną. Wówczas:

• $(A+B)^* = A^* + B^*\;$ (gdy macierze A i B mają takie same wymiary),
• $(AB)^*=B^*A^*\,$ (gdy iloczyn AB ma sens),
• $(\lambda A)^* = \overline{\lambda}A^*$
• $(A^*)^*=A\,$.