Sprzężenie zespolone

Sprzężenie zespolone – jednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej.

Przykładowo

$\overline{3 + 2i} = 3 - 2i$

$\overline{i} = -i$

$\overline{5} = 5$

$\overline{-2 - 3i} = -2 + 3i$

Definicja

Sprzężeniem liczby zespolonej w postaci algebraicznej $z = a + bi$, gdzie $a, b \in \mathbb R$ jest liczba $a - bi$ nazywana liczbą sprzężoną do $z$ i oznaczana zwykle symbolem $\overline z$. W fizyce oraz naukach technicznych stosuje się również zapis $z^\star$.

W postaci biegunowej sprzężenie liczby $r e^{i\phi}$ dane jest przez $r e^{-i \phi}$. Można to łatwo sprawdzić za pomocą wzoru Eulera.

Uwagi

Geometryczna reprezentacja $z$ i jego sprzężenia $\overline{z}$ na płaszczyźnie zespolonej.

Liczby zespolone przedstawiane są często jako punkty płaszczyzny w układzie współrzędnych kartezjańskich (por. diagram). Oś $x$-ów zawiera liczby rzeczywiste, zaś oś $y$-ów zawiera wielokrotności liczby $i$. Przy takiej interpretacji sprzężenie zespolone odpowiada symetrii względem osi $x$.

Pary liczb sprzężonych są warte uwagi, ponieważ jednostka urojona $i$ jest jakościowo różna od swojej odwrotności addytywnej i multiplikatywnej $-i$, jako że obie z nich spełniają definicję jednostki urojonej: $x^2 = -1$ dla $x \in \mathbb R$. Dlatego w najbardziej „naturalnych” okolicznościach, jeżeli liczba zespolona daje rozwiązanie problemu, to daje je również jej sprzężenie, jak to jest w przypadku rozwiązań zespolonych równania kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych.

Sprzężenie zespolone jest jedynym oprócz identyczności ciągłym automorfizmem ciała liczb zespolonych, a przy tym działanie to jest inwolucją, czyli $\overline{({\overline z})} = z$. Zachowuje ono moduł oraz zmienia argument liczby zespolonej na przeciwny.

Własności

Niech $z, w$ będą liczbami zespolonymi, a $r$ będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas

• $\overline r = r$.

• Liczbą sprzężoną do sumy liczb jest suma liczb sprzężonych:

  $\overline {z + w} = \overline z + \overline w$.

• Liczbą sprzężoną do iloczynu liczb jest iloczyn liczb sprzężonych:

  $\overline {z w} = {\overline z}\;{\overline w}$.

• Moduł liczby sprzężonej jest taki sam, jak moduł danej liczby:

  $|\overline z| = |z|$.

• Jeden z argumentów liczby sprzężonej jest taki sam, jak argument danej liczby, ale z przeciwnym znakiem:

  $\arg({\overline z}) = -\arg(z)$

• Suma danej liczby zespolonej oraz liczby do niej sprzężonej jest liczbą rzeczywistą i wynosi:

  $z + \overline z = 2\operatorname{Re}\;z$.

• Iloczyn danej liczby i liczby do niej sprzężonej jest nieujemną liczbą rzeczywistą i wynosi:

  $z \overline z = |z|^2$, stąd też $|z| = \sqrt{z \overline z}$.

• Jeżeli $z = ri$, czyli jest liczbą urojoną, to liczba sprzężona jest liczbą przeciwną do danej:

  $\overline z = -z \Leftrightarrow z = ri, \quad -z = -ri = \overline z$

• Jeśli $z$ jest pierwiastkiem danego wielomianu rzeczywistego, to $\overline z$ też nim jest.

Macierz sprzężona

Macierz sprzężona (trywialnie) do danej to macierz, której każdy element jest liczbą sprzężoną do odpowiadającego mu elementu macierzy zespolonej:

$\mathbf A = [a_{ij}] \mapsto \overline \mathbf A = [\overline{a_{ij}}]$

Znacznie jednak ważniejszą operacją jest sprzężenie hermitowskie macierzy, tzn. sprzężenie złożone z transpozycją.

Przykład

$\mathbf A = \begin{bmatrix} 2+3i & 1-2i & -1+2i \\ 0 & -2 & 3+2i \\ -i & 2-i & 2+i \end{bmatrix} \mapsto \overline \mathbf A = \begin{bmatrix} 2-3i & 1+2i & -1-2i \\ 0 & -2 & 3-2i \\ i & 2+i & 2-i \end{bmatrix}$

Uogólnienia

Sprzężenie można uogólnić na kwaterniony: sprzężeniem kwaternionu $a + bi + cj + dk$ jest kwaternion $a - bi - cj - dk$. Można także uogólnić je na przypadek dowolnego innego ciała kwadratowego, np. w ciele $\mathbb{Q}(\sqrt 2)$ można określić je wzorem $f(a + b \sqrt 2) = a - b \sqrt 2$, a także na liczby dualne. Sprzęgać można również dwumiany. Sprzężenie we wszystkich podanych przypadkach ma dwie ważne własności: jest automorfizmem oraz inwolucją.

Zobacz też

• liczby zespolone,
• moduł liczby zespolonej,
• argument liczby zespolonej,