Sprzężenie zespolone

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Sprzężenie zespolonejednoargumentowe działanie algebraiczne określone na liczbach zespolonych polegające na zmianie znaku części urojonej danej liczby zespolonej.

Przykładowo

\overline{3 + 2i} = 3 - 2i
\overline{i} = -i
\overline{5} = 5
\overline{-2 - 3i} = -2 + 3i

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Sprzężeniem liczby zespolonej w postaci algebraicznej z = a + bi, gdzie a, b \in \mathbb R jest liczba a - bi nazywana liczbą sprzężoną do z i oznaczana zwykle symbolem \overline z. W fizyce oraz naukach technicznych stosuje się również zapis z^\star.

W postaci biegunowej sprzężenie liczby r e^{i\phi} dane jest przez r e^{-i \phi}. Można to łatwo sprawdzić za pomocą wzoru Eulera.

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

Geometryczna reprezentacja z i jego sprzężenia \overline{z} na płaszczyźnie zespolonej.

Liczby zespolone przedstawiane są często jako punkty płaszczyzny w układzie współrzędnych kartezjańskich (por. diagram). Oś x-ów zawiera liczby rzeczywiste, zaś oś y-ów zawiera wielokrotności liczby i. Przy takiej interpretacji sprzężenie zespolone odpowiada symetrii względem osi x.

Pary liczb sprzężonych są warte uwagi, ponieważ jednostka urojona i jest jakościowo różna od swojej odwrotności addytywnej i multiplikatywnej -i, jako że obie z nich spełniają definicję jednostki urojonej: x^2 = -1 dla x \in \mathbb R. Dlatego w najbardziej „naturalnych” okolicznościach, jeżeli liczba zespolona daje rozwiązanie problemu, to daje je również jej sprzężenie, jak to jest w przypadku rozwiązań zespolonych równania kwadratowego o współczynnikach rzeczywistych.

Sprzężenie zespolone jest jedynym oprócz identyczności ciągłym automorfizmem ciała liczb zespolonych, a przy tym działanie to jest inwolucją, czyli \overline{({\overline z})} = z. Zachowuje ono moduł oraz zmienia argument liczby zespolonej na przeciwny.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Niech z, w będą liczbami zespolonymi, a r będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas

  • \overline r = r.
  • Liczbą sprzężoną do sumy liczb jest suma liczb sprzężonych:
    \overline {z + w} = \overline z + \overline w.
  • Liczbą sprzężoną do iloczynu liczb jest iloczyn liczb sprzężonych:
    \overline {z w} = {\overline z}\;{\overline w}.
  • Moduł liczby sprzężonej jest taki sam, jak moduł danej liczby:
    |\overline z| = |z|.
  • Jeden z argumentów liczby sprzężonej jest taki sam, jak argument danej liczby, ale z przeciwnym znakiem:
    \arg({\overline z}) = -\arg(z)
  • Suma danej liczby zespolonej oraz liczby do niej sprzężonej jest liczbą rzeczywistą i wynosi:
    z + \overline z = 2\operatorname{Re}\;z.
  • Iloczyn danej liczby i liczby do niej sprzężonej jest nieujemną liczbą rzeczywistą i wynosi:
    z \overline z = |z|^2, stąd też |z| = \sqrt{z \overline z}.
  • Jeżeli z = ri, czyli jest liczbą urojoną, to liczba sprzężona jest liczbą przeciwną do danej:
    \overline z = -z \Leftrightarrow z = ri, \quad -z = -ri = \overline z
  • Jeśli z jest pierwiastkiem danego wielomianu rzeczywistego, to \overline z też nim jest.

Macierz sprzężona[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: macierz sprzężona.

Macierz sprzężona (trywialnie) do danej to macierz, której każdy element jest liczbą sprzężoną do odpowiadającego mu elementu macierzy zespolonej:

\mathbf A = [a_{ij}] \mapsto \overline \mathbf A = [\overline{a_{ij}}]

Znacznie jednak ważniejszą operacją jest sprzężenie hermitowskie macierzy, tzn. sprzężenie złożone z transpozycją.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

\mathbf A = \begin{bmatrix}
2+3i & 1-2i & -1+2i \\
0 & -2 & 3+2i \\
-i & 2-i & 2+i
\end{bmatrix} \mapsto \overline \mathbf A = \begin{bmatrix}
2-3i & 1+2i & -1-2i \\
0 & -2 & 3-2i \\
i & 2+i & 2-i
\end{bmatrix}

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Sprzężenie można uogólnić na kwaterniony: sprzężeniem kwaternionu a + bi + cj + dk jest kwaternion a - bi - cj - dk. Można także uogólnić je na przypadek dowolnego innego ciała kwadratowego, np. w ciele \mathbb{Q}(\sqrt 2) można określić je wzorem f(a + b \sqrt 2) = a - b \sqrt 2, a także na liczby dualne. Sprzęgać można również dwumiany. Sprzężenie we wszystkich podanych przypadkach ma dwie ważne własności: jest automorfizmem oraz inwolucją.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]