Sprzężona algebra Banacha

Sprzężona algebra Banacha – algebra Banacha A, która jako przestrzeń Banacha jest przestrzenią sprzężoną do pewnej przestrzeni Banacha E oraz dla każdego elementu a algebry A operacje

$x\mapsto a\cdot x,\;x\mapsto x\cdot a,\;x\in A$

są *-słabo ciągłe, tzn. ciągłe względem topologii $\sigma (A,E).$ Sprzężone algebry Banacha są uogólnieniem W*-algebr (algebr von Neumanna), ale w przeciwieństwie do nich, przestrzenie do których są one sprzężone nie muszą być wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu.

Przykłady

• Dowolna W*-algebra jest sprzężoną algebrą Banacha.
• Algebra miar borelowskich (z mnożeniem jako działaniem splotu miar) na lokalnie zwartej grupie topologicznej G jest sprzężoną algebrą Banacha. Algebra ta jest przestrzenią sprzężoną do przestrzeni funkcji ciągłychh na G, znikających w nieskończoności.
• Algebra operatorów ograniczonych ${\mathcal {B}}(E)$ na refleksywnej przestrzeni Banacha E. W tym przypadku:

${\mathcal {B}}(E)=(E{\hat {\otimes }}E^{*})^{*}$ (symbol ${\hat {\otimes }}$ oznacza projektywny iloczyn tensorowy przestrzeni Banacha).

• Jeżeli A jest algebrą Banacha, to $A^{**}$ z działaniem iloczynu Arensa jest sprzężoną algebrą Banacha wtedy i tylko wtedy, gdy działanie to jest regularne w sensie Arensa.
• *-słabo domknięte podalgebry sprzężonej algebry Banacha są sprzężonymi algebrami Banacha.

Reprezentacja sprzężonych algebr Banacha

Każdą C*-algebrę można zanurzyć w algebrę operatorów na pewnej przestrzeni Hilberta (konstrukcja Gelfanda-Naimarka-Segala). Twierdzenie w podobnym duchu można udowodnić w przypadku sprzężonych algebr Banacha. Dokładniej, jeżeli A jest sprzężoną algebrą Banacha, to istnieje refleksywna przestrzeń Banacha E oraz homomorfizm

$\pi \colon A\to {\mathcal {B}}(E),$

który jest odwzorowaniem ciągłym względem $A$ i ${\mathcal {B}}(E)$ z *-słabymi topologiami.