Przestrzeń sprzężona w sensie sprzężenia zespolonego

Przestrzeń sprzężona w sensie sprzężenia zespolonego - dla danej zespolonej przestrzeni liniowej $V$ przestrzeń liniowa $\overline{V}$, której elementami są elementy zbioru $V$, działanie dodawania jest takie samo jak w przestrzeni $V$, natomiast mnożenie przez skalary zdefiniowane jest wzorem

$\alpha \odot x = \overline{\alpha}x$,

dla każdego $x\in V$ oraz każdej liczby zespolonej $\alpha$. Działanie po prawej stronie znaku równości oznacza mnożenie przez skalar (liczbę sprzężoną do $\alpha$) w przestrzeni $V$.

Przestrzenie $V$ i $\overline{V}$ mają jednakowe wymiary, a więc są izomorficzne z punktu widzenia algebry liniowej, to znaczy istnieje wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie liniowe między tymi przestrzeniami. Przestrzeń $\overline{\overline{V}}$ można w naturalny sposób utożsamiać z przestrzenią $V$ (zob. idempotentność).

Jeśli $V,W$ są zespolonymi przestrzeniami liniowymi oraz $A\colon V\to W$ jest odwzorowaniem antyliniowym, to jest ono liniowe jako przekształcenie przestrzeni $\overline{V}$ w przestrzeń $W\,$ (cały czas można mówić o jednym i tym samym odwzorowaniu ponieważ zbiory wektorów przestrzeni $V\,$ i $\overline{V}$ są równe. W szczególności, identyczność

$\mbox{id}\colon H\to \overline{H}$

jest izomorfizmem antyliniowym.

Twierdzenie Riesza o reprezentacji ciągłych funkcjonałów liniowych na przestrzeni Hilberta $H$ mówi, że dla każdego $x^*\in H^*$ istnieje dokładnie jeden element $a\in H$ taki, że

$x^*x=( x| a )\,$

dla każdego $x\in H$. Z tego twierdzenia wynika, że każda przestrzeń Hilberta $H$ jest antyliniowo (izometrycznie) izomorficzna ze swoją przestrzenią sprzężoną $H^*$. Stąd, niekiedy wygodnie jest dokonywać utożsamienia

$H^*=\overline{H}.$

Bibliografia

• Aleksiej I. Kostrikin: Wstęp do algebry: Algebra liniowa. Warszawa: PWN, 2004, s. 142. ISBN 83-01-14267-7.