Stała Erdősa-Borweina

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Stała Erdősa-Borweina to suma szeregu złożonego z odwrotności liczb Mersenne'a. Nazwana tak na cześć matematyków Paula Erdősa i Petera Borweina.

Z definicji

E_B=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n-1} \approx 1,60669 51524 15291 763...

Można pokazać, że następujące określenia są równoważne z powyższą definicją:


E_B=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n^2}}\frac{2^n+1}{2^n-1}

E_B=\sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{mn}}

E_B=1+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n(2^n-1)}

E_B=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sigma_0(n)}{2^n}

gdzie \sigma_0(n)=d(n) jest funkcją, przypisującą liczbie n liczbę jej dodatnich podzielników. Aby dowieść równoważność powyższych sum, wystarczy zauważyć, że można je zapisać w postaci szeregu Lamberta.

W roku 1948 Paul Erdős pokazał, że liczba E_B jest niewymierna.

Zobacz też: lista stałych matematycznych.