Stała Eulera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Stała Eulera, stała Eulera-Mascheroniego (γ) – stała matematyczna wynosząca około 0,57721 56649.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Stałą po raz pierwszy zapisał szwajcarski matematyk Leonhard Euler w dziele zatytułowanym De Progressionibus harmonicis Observationes. Oznaczał ją za pomocą C i O. W 1790 r. włoski matematyk Lorenzo Mascheroni używał liter A i a. Znak γ nie pojawia się w pismach Eulera ani Mascheroniego i został użyty później ze względu na związek stałej Eulera z funkcją gamma. Na przykład niemiecki matematyk Carl Anton Bretschneider używał zapisu γ w 1835 roku[1].

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Stała Eulera pojawia się w analizie matematycznej jako granica ciągu

\gamma =\lim_{n \to \infty}\left(1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3}  +\dots+ \frac{1}{n} - \ln(n)\right)=\lim_{n \to \infty}\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k} - \ln(n)\right)=\lim_{n \to \infty}\left(H_n - \ln(n)\right)

gdzie \scriptstyle H_n oznacza odpowiednią liczbę harmoniczną.

Inaczej można ją zdefiniować za pomocą funkcji ζ Riemanna:

\gamma=\lim_{x\to 1^{+}}\left(\zeta(x)-{1\over x-1}\right)

lub za pomocą następującej całki:

\gamma=-\int_0^\infty {\ln t\over e^t}dt

Występuje też jako wartość wielu innych całek oznaczonych.

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

Średnia wartość reszty z dzielenia liczby naturalnej N przez kolejne liczby mniejsze od N (albo kolejne liczby pierwsze mniejsze od N) dąży do γ przy wzroście N.

Stała Eulera bardzo często pojawia się w teorii liczb np. przy asymptotycznych oszacowaniach niektórych funkcji arytmetycznych (twierdzenie Dirichleta o sumie dzielników liczb naturalnych, czy też twierdzenie Mertensa). Pojawia się też często przy rozważaniu szeregu harmonicznego. W tych rozważaniach często występuje:

e^\gamma=\prod_{k=1}^\infty{\sqrt[k]{e}\over1+{1\over k}}\approx 1.78107\dots

Nie wiadomo czy ta stała jest liczbą wymierną, czy też niewymierną, ale wykazano, że jeśli liczba γ jest liczbą wymierną, to jej mianownik musi mieć ponad 10242080 cyfr[2].

Wartość przybliżona stałej Eulera γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606 512 090 082 402 431 042 159 335 939 923 598 805…[3]

Do obliczania wartości liczby γ można użyć wzoru:

{1\over24(n+1)^2}<\left(\sum_{k=1}^n {1\over k}\right)-\ln{(n+{1\over2})}-\gamma<{1\over24n^2}

Związki[edytuj | edytuj kod]

Stała Eulera występuje m.in. w:

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Krämer 2005
  2. Havil, Julian: Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton University Press, 2003. ISBN 0-691-09983-9.
  3. OEIS: Decimal expansion of Euler's constant (or Euler-Mascheroni constant) gamma (ang.). [dostęp 2008-12-10].