Stała Feigenbauma

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Stała Feigenbauma δ opisuje zbieżność bifurkacji ciągu x_{n+1}\ = \mu f(x_n) i pochodzi od nazwiska jej odkrywcy Mitchella Feigenbauma. Została odkryta w 1978 roku.

Rozpatrzmy ciąg iteracji pewnej funkcji f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} mnożonej każdorazowo przez stałą \mu:

x_{n+1}\ = \mu f(x_n).

Dla niektórych wartości x_0 przy ustalonym \mu ciąg ten posiada granicę. Okazuje się, że dla wielu funkcji f liczba takich skończonych granic rośnie skokowo wraz ze wzrostem \mu (występują tzw. bifurkacje). Oznaczmy przez \mu_n rosnący ciąg wartości \mu dla których zwiększyła się liczba granic ciągu x_n.

Okazuje się, że istnieje wtedy granica ciągu

\lim_{n \to \infty}\frac {\mu_{n+1}-\mu_n}{\mu_{n+2}-\mu_{n+1}}

Feigenbaum ze zdumieniem odkrył, że granica ta jest identyczna dla szerokiej klasy funkcji i równa \delta = 4,66920160910299067185320383\dots (ciąg A006890 w OEIS)

Zbieżność bifurkacji dla odwzorowania logistycznego x_{n+1}=rx_n(1-x_n)\,

Stała ta jest uniwersalna i pojawia się w wielu różnych sytuacjach w otaczającym nas świecie np.: w przepływach turbulentnych, oscylacjach w rezonatorach kwarcowych, reakcjach chemicznych, czy w zbiorach fraktalnych.

Stała Feigenbauma występuje we wszystkich funkcjach ściśle wklęsłych na pewnym przedziale A z jednym maksimum w tym przedziale, odwzorowujących ten przedział w siebie. Ponieważ wiele zjawisk przyrodniczych jest opisanych takimi funkcjami, stąd popularność stałej w przyrodzie.

Na wykresie obok przedstawiono atraktory dla różnych wartości parametru. Istnieje nigdzie gęsty podzbiór parametrów \mu, dla których atraktor odwzorowania staje się chaotyczny. Podzbiór ten poprzecinany jest przedziałami parametru \mu (np. \mu\in (3,8284; 3,8495)), dla których wraz ze wzrostem wartości dochodzi do kolejnych bifurkacji podwojeń okresu, aż do granicy w której znajduje się atraktor chaotyczny. Jest to tzw. przejście do chaosu poprzez kaskadę bifurkacji podwojeń okresu.