Statystyka (funkcja)

Statystyka to funkcja mierzalna określona na przestrzeni statystycznej, służąca do wyodrębnienia pewnych istotnych cech danych doświadczalnych. Jest szczególnym przypadkiem miary rozkładu. Pojęcie statystyki w statystyce matematycznej jest odpowiednikiem zmiennej losowej w rachunku prawdopodobieństwa.

Statystyki są często estymatorami parametrów rozkładu zmiennej losowej w populacji generalnej

Definicja

Niech $( \Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P} )$ będzie przestrzenią statystyczną, gdzie

$\mathcal{P}=\{P_\theta \colon \theta \in \Theta\}$

jest rodziną miar probabilistycznych określonych na σ-ciele $\mathcal{F}$ podzbiorów zbioru $\Omega$, indeksowaną parametrem $\theta\;$. Niech dalej $( \mathcal{X}, \mathcal{C} )$ będzie przestrzenią mierzalną. Funkcję mierzalną $T \colon \Omega \to \mathcal{X}$ nazywamy statystyką. Zbiór $\Omega$ jest nazywany przestrzenią prób.

Uwagi

• Jeśli $\mathcal{X} = \mathbb{R}$ to statystykę $T$ nazywamy statystyką o wartościach rzeczywistych.
• Jeśli $\mathcal{X} = \mathbb{R}^n$ to statystykę $T$ nazywamy statystyką o wartościach wektorowych.

Przykłady

• średnie
• mediana
• wariancja
• odchylenie standardowe

Statystyka swobodna

Statystyka $T \colon \Omega \to \mathbb{R}\;$ jest statystyką swobodną ze względu na wartość oczekiwaną, gdy $E_{P_\theta} (T)$ istnieje i nie zależy od $\theta\;$. Wspólną dla $\theta \in \Theta$ wartość oczekiwaną oznaczamy $E(T)$ i nazywamy wartością oczekiwaną statystyki $T .$

Statystyka dostateczna

Definicja i własności

σ-ciało dostateczne

σ-podciało $\mathcal{G}$ σ-ciała $\mathcal{F}$ jest dostateczne, gdy dla każdego $F \in \mathcal{F}$ istnieje wersja prawdopodobieństwa warunkowego $P( F | \mathcal{G} )$ taka sama dla wszystkich miar z rodziny $\mathcal{P} .$

Statystyka dostateczna

Statystykę $T$ nazywamy dostateczną jeżeli σ-podciało $T^{-1} (\mathcal{C})$ jest dostateczne.

Twierdzenie

Niech statystyka $T \colon ( \R^n, \mathcal{B}_{R^n}, \mathcal{P} ) \to ( \mathbb{R}^n, \mathcal{B}_{R^n} )$ będzie statystyką o wartościach wektorowych. $T$ jest statystyką dostateczną dla rodziny $\mathcal{P}$ lub dla $\theta\;$ jeżeli dla każdej wartości $t\;$ rozkład warunkowy $P_\theta\{\cdot |T=t\}$ nie zależy od $\theta\;$.

Przypadek ogólny opisuje poniższe twierdzenie (zwane twierdzeniem o faktoryzacji lub twierdzeniem Neymana):

Twierdzenie

Niech $( \Omega, \mathcal{F}, \{ p_\theta : \theta \in \Theta \} )$ będzie przestrzenią statystyczną dominowaną. Statystyka $T: \Omega \to \mathcal{X} \;$ jest dostateczna wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje gęstości $p_\theta\;$ dają się przedstawić w postaci:

$\bigwedge\limits_{\omega \in \Omega} p_\theta(\omega)=g_\theta(T(\omega))h(\omega)\;$

gdzie $h \colon \Omega \to [0; \infty )$ jest funkcją $\mathcal{F}$-mierzalną, funkcje $g_\theta \colon \mathcal{X} \to [ 0; \infty )$ są $\mathcal{C}$-mierzalne.

Minimalna statystyka dostateczna

Statystykę dostateczną $S\;$ nazywamy minimalną statystyką dostateczną jeżeli dla każdej statystyki dostatecznej $T\;$ istnieje funkcja $H$ taka, że $S=H(T)\;$.

Zobacz też

• miara rozkładu
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki

Bibliografia

• Jean René Barra, Elżbieta Pleszczyńska, Maria Wesołowska: Matematyczne podstawy statystyki. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1982. ISBN 83-01-02847-5.
• Ryszard Zieliński: Siedem wykładów wprowadzających do statystyki matematycznej. Warszawa: 2004. http://www.impan.gov.pl/~rziel/7ALL.pdf (dostęp: 21 maja 2008)