Statystyka Fermiego-Diraca

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Oś pozioma: {E}/{\mu}. Oś pionowa: \langle n \rangle. Dla {E} = {\mu} zachodzi \langle n \rangle=0{,}5.
Porównanie statystyk kwantowych.

Statystyka Fermiego-Diracastatystyka dotycząca fermionów, cząstek o spinie połówkowym, które obowiązuje zakaz Pauliego. Zgodnie z zakazem Pauliego w danym stanie kwantowym nie może znajdować się więcej niż jeden fermion. Statystyka Fermiego-Diraca oparta jest również na założeniu nierozróżnialności cząstek.

Zgodnie z rozkładem Fermiego-Diraca średnia liczba cząstek w niezdegenerowanym stanie energetycznym E dana jest przez

\langle n \rangle =\frac{1}{e^{\beta (E-\mu)}+1}

gdzie:

E – energia tego stanu,
\mu potencjał chemiczny
\beta = 1/(k_BT),
k_Bstała Boltzmanna,
T – temperatura bezwzględna (w skali Kelvina).

Rozkład Fermiego-Diraca – elektrony[edytuj | edytuj kod]

Rozkład Fermiego-Diraca opisuje sposób obsadzenia poziomów energetycznych przez elektrony w układzie wieloelektronowym (np. gaz elektronów w metalach i półprzewodnikach).

Zgodnie z zakazem Pauliego, w każdym stanie kwantowym może się znajdować co najwyżej jeden elektron, a każdy poziom energetyczny może być obsadzony przez co najwyżej dwa elektrony o przeciwnych spinach.

W temperaturze większej od zera bezwzględnego prawdopodobieństwo P obsadzenia k- tego stanu, o energii E_k, jest tym mniejsze, im większa jest ta energia. Przy zmniejszaniu E_k prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w stanie k wzrasta, jednak nie przekracza jedności.

Zależność tę wyraża funkcja rozkładu Fermiego-Diraca:

P(E_k)=\frac{1}{e^{\beta (E_k-\mu)}+1}.

W temperaturze zera bezwzględnego wprowadza się oznaczenie \mu = \mu (0) = E_{F}, jest to energia najwyżej obsadzonego stanu (k_Fpoziom Fermiego) w temperaturze zera bezwzględnego. W tej temperaturze obsadzone są wszystkie stany o energii mniejszej lub równej energii Fermiego (E_F) a wyższe stany nie są obsadzone.

Dla każdej temperatury T zachodzi P(E_k)=0{,}5, gdy E_k = \mu.

Dla takich energii, że E_k - \mu \gg k_B T rozkład przechodzi w klasyczny rozkład Boltzmanna:

P(E_k) \approx \frac{1}{e^{\beta (E_k-\mu)}} = e^{- \beta (E_k-\mu)}.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]