Sterowanie minimalno-kwadratowe

Sterowanie minimalno-kwadratowe – sterowanie, którego celem jest zmiana stanu układu, tak aby minimalizować kryterium $J$ oraz, aby układ był stabilny.

Układ

${\frac {dx}{dt}}=Ax+Bu$

$y=Cx$

Zadanie

Należy znaleźć $u,$ takie że:

$J(u,x_{0})=\int _{0}^{+\infty }(y(t)^{T}y(t)+u(t)^{T}Ru(t))dt$

przyjmuje wartość minimalną. Macierz $R$ nazywana jest macierzą wagową i spełnia ona warunek:

$R=R^{T}>0.$

Rozwiązanie

$u=Kx,$

gdzie:

$K=-R^{-1}B^{T}P,$

$A^{T}P+PA+C^{T}C-PBR^{-1}B^{T}P=0.$

Powyższy układ równań nazywany jest równaniami algebraicznymi Riccatiego.

Warunki

Aby zadanie miało rozwiązanie spełnione muszą być dwa warunki:

1. układ jest sterowalny – co pociąga za sobą stabilizowalność,
2. układ jest obserwowalny – co pociąga za sobą wykrywalność.

Zobacz też

• regulator liniowo-kwadratowy
• równanie różniczkowe Riccatiego