Stożek (topologia)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Stożek okręgu. Podstawa stożka jest niebieska, a ściągnięty punkt jest zielony.

W topologii, w szczególności w topologii algebraicznej, stożkiem CX nad przestrzenią topologiczną X jest przestrzeń ilorazowa:

CX = (X \times I)/(X \times \{0\})\,

iloczynu przestrzeni X przez przedział jednostkowy I = [0, 1]. Intuicyjnie nad przestrzenią X tworzymy walec i ściągamy jeden z końców walca do punktu.

Jeśli X jest podprzestrzenią przestrzeni euklidesowej, to stożek nad X jest homeomorficzny z sumą odcinków łączących punkty przestrzeni X z pewnym punktem zewnętrznym. W tym sensie stożek topologiczny jest identyczny ze stożkiem geometrycznym. Pojęcie stożka topologicznego jest znacznie bardziej ogólne.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

\{(x,y,z) \in \mathbb R^3 \mid x^2 + y^2 = z^2 \and 0\leq z\leq 1\}.
Jest on homeomorficzny z domkniętym kołem.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Wszystkie stożki są łukowo spójne ponieważ każdy jego punkt może być połączony odcinkiem z wierzchołkiem stożka. Ponadto każdy stożek jest ściągalny do wierzchołka za pomocą homotopii

ht(x,s) = (x, (1−t)s).

Stożek jest używany w topologii algebraicznej, bo zawiera przestrzeń X jako podprzestrzeń przestrzeni ściągalnej.

Stożek zredukowany[edytuj | edytuj kod]

Jeśli (X,x_0) jest przestrzenią punktowaną, to istnieje konstrukcja stożka zredukowanego:

X\times [0,1] / (X\times \left\{0\right\})
\cup(\left\{x_0\right\}\times [0,1])

Kompleksy łańcuchowe[edytuj | edytuj kod]

  • 'Stożkiem przekształcenia łańcuchowego f: K \rightarrow L nazywamy kompleks łańcuchowy Cf, w którym:
(Cf)_n = L_n \oplus K_{n - 1}
\partial^{Cf}(y, x) = (\partial^{L}y + fx, -\partial^{K}x), gdzie (y, x) \in Cf

Konstrukcji tej odpowiada następująca konstrukcja geometryczna:

w iloczynie wielościanu K\; przez odcinek jednostkowy K \times I, gdzie I = \langle 0; 1 \rangle\; ściągamy do punktu podstawę iloczynu K \times \{0\}, a drugą podstawę K \times \{1\} doklejamy do wielościanu L\; za pomocą przekształcenia f: K \rightarrow L\,, co sprowadza się do podzielenia sumy rozłącznej wielościanów (X \times I) \sqcup Y przez relacje (x,0) \sim (x', 0)\, i (x,1) \sim f(x)\, dla dowolnych x, x' \in X\;.

Stożek przekształcenia łańcuchowego identycznościowego id: K \rightarrow K nazywa się stożkiem nad kompleksem K\; i oznacza się go CK\;.

Ma wtedy miejsce krótki ciąg dokładny:

0\, \rightarrow\, K \,\xrightarrow{\iota}\, CK\, \xrightarrow{\varkappa}\, K^{+}\, \rightarrow\, 0'

gdzie K^{+}\, jest zawieszeniem kompleksu K\,, a \iota\; i \varkappa\; są przekształceniami łańcuchowymi określonymi wzorami:

\iota y = (y, 0), \varkappa (x, y) = x.

Funktor stożkowy[edytuj | edytuj kod]

Odwzorowanie X\mapsto CX generuje funktor C:\bold{Top}\to\bold {Top} na kategorii przestrzeni topologicznych Top.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge: Cambridge University Presses, 2002. ISBN 0-521-79160-X.
  2. Dold A.: Lectures on algebraic topology. Berlin Heidelberg New York: Springer Verlag, 1972.
  3. Marvin Greenberg: Wykłady z topologii algebraicznej. Warszawa: PWN, 1980. ISBN 83-01-00415-0.