Stowarzyszone funkcje Legendre'a

Stowarzyszone funkcje Legendre'a – funkcje związane z wielomianami Legendre'a P_l(x) za pomocą wzoru:

$P^{m}_{l}(x) = (1-x^{2})^{m/2}\frac{d^{m}}{dx^{m}}P_{l}(x)$

Wielomiany te spełniają równanie różniczkowe postaci:

$\left[ (1-x^{2})\frac{d^{2}}{dx^{2}} - 2x\frac{d}{dx}+l(l+1) - \frac{m^{2}}{1-x^{2}} \right] f(x) = 0$

Najważniejszym zastosowaniem stowarzyszonych funkcji Legendre'a jest ich związek z harmonikami sferycznymi