Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a

Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a (ang. generalized Laguerre polynomials, associated Laguerre polynomials) – wielomiany ortogonalne zdefiniowane w sposób:

$L_{n}^{(\alpha )}(x){\stackrel {\mathrm {df} }{=}}{\frac {x^{-\alpha }e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right).$

Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a stanowią rozwiązanie następującego równania różniczkowego II rzędu zwanego stowarzyszonym równaniem Laguerre’a:

$x{\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}+(\alpha +1-x){\frac {df(x)}{dx}}+nf(x)=0.$

Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a są uogólnieniem ‘zwykłych’ wielomianów Laguerre’a $L_{n}(x),$ które stanowią szczególny przypadek wielomianów stowarzyszonych dla $\alpha =0{:}$

$L_{n}(x)=L_{n}^{(0)}(x)$

Początkowe stowarzyszone wielomiany Laguerre’a

$L_{0}^{(\alpha )}(x)=1$

$L_{1}^{(\alpha )}(x)=-x+\alpha +1$

$L_{2}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{2}}x^{2}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)}{2}}$

$L_{3}^{(\alpha )}(x)=-{\frac {1}{6}}x^{3}+{\frac {\alpha +3}{2}}x^{2}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)}{2}}x+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}$

$L_{1}^{1}(x)=-1$

$L_{2}^{1}(x)=2x-4$

$L_{2}^{2}(x)=2$

$L_{3}^{1}(x)=-3x^{2}+18x-18$

$L_{3}^{2}(x)=-6x+18$

$L_{3}^{3}(x)=-6$

$L_{4}^{1}(x)=4x^{3}-48x^{2}+144x-96$

$L_{4}^{2}(x)=12x^{2}-96x+144$

$L_{4}^{3}(x)=24x-96$

$L_{4}^{4}(x)=24$

Własności stowarzyszonych wielomianów Laguerre’a

Dla naturalnych $\alpha$ pierwszy wyraz wielomianu ma współczynnik:

$C_{0}={\frac {(-1)^{n}}{n!}},$

a wartość wielomianu w punkcie 0 wynosi:

$L_{n}^{(\alpha )}(0)={\binom {n+\alpha }{n}}.$

Stowarzyszony wielomian Laguerre’a $L_{n}^{(\alpha )}(x)$ posiada $n$ pierwiastków rzeczywistych zawartych w przedziałach $\left(0;n+\alpha +(n-1){\sqrt {n+\alpha }}\right].$

Wzory rekurencyjne

Wzory te pozwalają na wyznaczanie wielomianów wyższego rzędu korzystając z wielomianów niższego rzędu lub wielomianów o wyższych górnych wskaźnikach, korzystając z wielomianów o niższych górnych wskaźnikach:

$L_{n}^{(\alpha +\beta +1)}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{n-i}^{(\beta )}(y),$

$L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{n-i}^{(\alpha +i)}(y){\frac {(y-x)^{i}}{i!}},$

$L_{n}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x),$

$L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n-i-1 \choose n-i}L_{i}^{(\beta )}(x),$

$L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n \choose n-i}L_{i}^{(\beta -i)}(x),$

$L_{n}^{(\alpha )}(x)=L_{n}^{(\alpha +1)}(x)-L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}L_{n-j}^{(\alpha -k+j)}(x),$

${\begin{aligned}nL_{n}^{(\alpha )}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-xL_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)\\&{\text{or }}{\frac {x^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{n+i \choose i}{n+\alpha \choose k-i}L_{n+i}^{(\alpha -k)}(x),\end{aligned}},$

$nL_{n}^{(\alpha +1)}(x)=(n-x)L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)+(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x),$

$xL_{n}^{(\alpha +1)}(x)=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(n-x)L_{n}^{(\alpha )}(x),$

${\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\left(2+{\frac {\alpha -1-x}{n}}\right)L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-\left(1+{\frac {\alpha -1}{n}}\right)L_{n-2}^{(\alpha )}(x)\\[1ex]&={\frac {\alpha +1-x}{n}}L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)-{\frac {x}{n}}L_{n-2}^{(\alpha +2)}(x)\end{aligned}},$

${\frac {(-x)^{i}}{i!}}L_{n}^{(i-n)}(x)={\frac {(-x)^{n}}{n!}}L_{i}^{(n-i)}(x),$

${\begin{aligned}{\frac {L_{n}^{(\alpha )}(x)}{n+\alpha \choose n}}&=1-\sum _{j=1}^{n}{\frac {x^{j}}{\alpha +j}}{\frac {L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!}}\\&=1-\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j}{\frac {j}{\alpha +j}}{n \choose j}L_{n}^{(-j)}(x)\\&=1-x\sum _{i=1}^{n}{\frac {L_{n-i}^{(-\alpha )}(x)L_{i-1}^{(\alpha +1)}(-x)}{\alpha +i}}.\end{aligned}}.$

Pochodne stowarzyszonych wielomianów Laguerre’a

Podstawowy wzór na pochodną rzędu $k$ stowarzyszonego wielomianu Laguerre’a:

${\frac {d^{k}}{dx^{k}}}L_{n}^{(\alpha )}(x)=(-1)^{k}L_{n-k}^{(\alpha +k)}(x).$

W szczególności dla pierwszej pochodnej stowarzyszonego wielomianu Laguerre’a mamy:

${\frac {d}{dx}}L_{n}^{(\alpha )}(x)=-L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x).$

Wzór na pochodną rzędu $k$ iloczyn funkcji potęgowej i stowarzyszonego wielomianu Laguerre’a:

${\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}\left\{x^{\alpha }L_{n}^{(\alpha )}(x)\right\}={n+\alpha \choose k}x^{\alpha -k}L_{n}^{(\alpha -k)}(x).$

W szczególności dla pierwszej pochodnej mamy:

${\frac {d}{dx}}\left\{x^{\alpha }L_{n}^{(\alpha )}(x)\right\}=(n+\alpha )x^{\alpha -1}L_{n}^{(\alpha -1)}(x).$

Pochodna stowarzyszonego wielomianu Laguerre’a względem parametru $\alpha {:}$

${\frac {d}{d\alpha }}L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {1}{n-i}}L_{n}^{(\alpha )}(x).$

Ortogonalność stowarzyszonych wielomianów Laguerre’a

Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a są ortogonalne w przedziale $[0;\infty ]$ z funkcją wagową $x^{\alpha }e^{-x}$

$\int _{0}^{\infty }x^{\alpha }e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{n,m}.$

W szczególności dla $n=m$ mamy:

$\int _{0}^{\infty }x^{\alpha +1}e^{-x}\left[L_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}dx={\frac {(n+\alpha )!}{n!}}(2n+\alpha +1).$

Zastosowania

Stowarzyszone wielomiany Laguerre’a pojawiają się w rozwiązaniach równania Helmholza w sferycznym układzie współrzędnych. Występują też w rozwiązaniu równania Schrödingera dla modelu atomu wodoru.

Bibliografia

• Bayin S.S.: Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, (2006).
• Spain B., Smith M.G.: Functions of Mathematical Physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, (1970).
• Gradshteyn I.S., Ryzhik I.M.: Tablitsy integralov, ryadov, summ i proizvedeniy, Moskva, (1971).