Struktura matematyczna

Struktura matematyczna (także model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu) - w matematyce zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system.

Definicja

Na strukturę matematyczną $\scriptstyle \mathbf M$ składają się uniwersum (czyli pewien zbiór lub szerzej klasa) oraz interpretacja symboli pewnego języka $\scriptstyle \mathbf L,$ w skład którego mogą (lecz nie muszą) wchodzić symbole funkcji, relacji i stałych (interpretacje symboli stałych w modelu to elementy wyróżnione; zob. symbol funkcyjny). Dlatego każdą strukturę $\scriptstyle \mathbf M$ należy rozpatrywać w kontekście ustalonego języka $\scriptstyle \mathbf L,$ mówi się wtedy, że $\scriptstyle \mathbf M$ jest modelem (strukturą) dla języka $\scriptstyle \mathbf L.$

Niekiedy rozróżnia się znaczenia terminów „model” i „struktura matematyczna” („system semantyczny”). Słowo „model” oznacza wtedy tylko uniwersum.

Klasyfikacja

W teorii struktur wyróżnia się m.in.

• struktury algebraiczne, tzn. struktury dla języka zawierającego tylko symbole funkcji, czy stałych, ale nie ogólnych relacji (nie oznacza to braku relacji w modelu – każda funkcja jest relacją). Struktury takie można zwykle rozumieć jako zbiory z danymi działaniami. Przykładami struktur algebraicznych są grupy. Uniwersum tworzy zbiór elementów grupy, elementem wyróżnionym jest element neutralny działania grupowego, funkcjami natomiast są działanie grupowe oraz operacja brania elementu odwrotnego. W podobny sposób strukturami są wszystkie pozostałe struktury algebraiczne, czyli między innymi ciała, pierścienie, moduły i przestrzenie liniowe.
• struktury porządkowe tworzone przez zbiory wraz z ich relacjami porządkującymi, czyli m.in. częściowe porządki. Uniwersum stanowi zbiór elementów porządku, natomiast relacją jest relacja częściowego porządku.
• struktury topologiczne tworzone przez zbiory, w których wyróżniona jest rodzina podzbiorów o ustalonych własnościach. Zbiór wraz ze swoją strukturą topologiczną tworzy przestrzeń topologiczną.
• struktury mieszane będące połączeniem co najmniej dwóch z powyższych rodzajów struktur, np. grupa topologiczna, przestrzeń liniowo-topologiczna, ciało uporządkowane.

Modele języków pierwszego rzędu

Niech τ będzie alfabetem pewnego języka pierwszego rzędu ${\mathcal L}(\tau)$.

Interpretacją lub modelem języka ${\mathcal L}(\tau)$ nazywa się dowolną parę uporządkowaną $\langle U,\Delta\rangle$, gdzie U jest niepustym zbiorem, natomiast ∆ jest funkcją określona na zbiorze wszystkich stałych pozalogicznych rozważanego języka, spełniającą następujące warunki:

• dla dowolnej stałej indywiduowej a_i, ∆(a_i) ∈ U,
• dla każdego predykatu n-argumentowego $P\in \tau$, Δ(P) jest n-członową relacją w zbiorze U,
• dla każdego n-argumentowego symbolu funkcyjnego F, Δ(F) jest n-argumentową funkcją, której argumenty i wartości należą do zbioru U.

Własności i zastosowania

Każdemu modelowi można przyporządkować zbiór tych wszystkich zdań logicznych wyrażonych w języku tego modelu, które są w nim prawdziwe – jest to tzw. teoria tego modelu. Można też rozważać modele, które spełniają dany niesprzeczny zbiór zdań. Twierdzenie o istnieniu modelu udowodnione w 1931 roku przez Kurta Gödla mówi, że dla każdego takiego zbioru zdań istnieje model, który spełnia je wszystkie (spełnia w sensie definicji spełniania Tarskiego).

Struktura matematyczna jest na tyle ogólnym pojęciem, że badanie własności modeli i pewnych klas ich przekształceń (na przykład izomorfizmów, elementarnych równoważności) pozwala na wyciąganie pewnych generalnych wniosków dotyczących rzeczywistości matematycznej. Badaniami takimi zajmuje się teoria modeli, jeden z działów logiki matematycznej.

Zobacz też

• model Herbranda