Sumowalność metodą Cesàro

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Sumowalność metodą Cesàro lub sumowalność w sensie Cesàro – alternatywny sposób przypisania sumy do nieskończonego szeregu w analizie matematycznej. Jeśli szereg jest zbieżny w zwykłym sensie do sumy A, to jest także sumowalny metodą Cesàro i jego suma w sensie Cesàro również wynosi A. Znaczenie sumowalności metodą Cesàro polega na tym, że szeregi rozbieżne mogą mieć dobrze zdefiniowaną sumę Cesàro.

Nazwa metody sumowania pochodzi od włoskiego matematyka Ernesto Cesàro (1859–1906).

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Dla danego nieskończonego ciągu \scriptstyle (a_n) definiuje się

s_k = a_1 + \cdots + a_k

będący k-tą sumą częściową ciągu \scriptstyle (a_n) lub sumą częściową szeregu

\sum_{n=1}^\infty a_n.

O szeregu \scriptstyle \sum a_n mówi się, że ma sumę w sensie Cesàro o wartości A, jeżeli średnia wartość jego sum cząstkowych jest zbieżna do A:

\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n s_k = A

Innymi słowy, suma w sensie Cesàro nieskończonego szeregu jest granicą średniej arytmetycznej (średnia) pierwszych n sum częściowych szeregu, przy n zmierzającym do nieskończoności.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Połóżmy an = (-1)n+1 dla n ≥ 1. Kolejne wyrazy ciągu (an) to

1, -1, 1, -1, \ldots\,

Stąd ciąg sum częściowych (sn) to

1, 0, 1, 0, \ldots\,

Wyraźnie widać, że ten szereg, znany jako szereg Grandiego, nie jest zbieżny. Z drugiej strony jednak widać, że wyrazy ciągu {(s1 + ... + sn)/n} wynoszą

\frac{1}{1}, \,\frac{1}{2}, \,\frac{2}{3}, \,\frac{2}{4}, \,\frac{3}{5}, \,\frac{3}{6}, \,\frac{4}{7}, \,\frac{4}{8}, \,\ldots,

czyli

\lim_{n\to\infty} \frac{s_1 + \cdots + s_n}{n} = \frac{1}{2}

Wobec powyższego suma szeregu \scriptstyle (a_n) w sensie Cesàro wynosi 1/2.

Rozpatrując kolejny ciąg an = 1 for n ≥ 1. Wyrazy ciągu (an) to

1, 1, 1, 1, \ldots\,

a ich suma jest rozbieżna do nieskończoności. Wyrazy ciągu {(s1 + ... + sn)/n} wynoszą

\frac{1}{1}, \,\frac{3}{2}, \,\frac{6}{3}, \,\frac{10}{4}, \,\ldots

Są one również rozbieżne do nieskończoności, wobec czego szereg ten nie jest sumowalny w sensie Cesàro. Uogólniając, w szeregach rozbieżnych do (dodatniej lub ujemnej) nieskończoności sumowanie metodą Cesàro prowadzi do ciągów podobnie rozbieżnych, a więc takie szeregi nie są sumowalne w sensie Cesàro. Ciągi monotoniczne tworzą albo szeregi zbieżne albo rozbieżne do nieskończoności, stąd wynika, że jeśli szereg nie jest zbieżny ale jest sumowalny w sensie Cesàro to jego wyrazy muszą oscylować tj. zawierać wyrazy dodatnie i ujemne. Należy jednak zauważyć, że nie muszą one pojawiać się regularnie lub powtarzać się według oczywistego wzoru.

Sumowanie (C, α)[edytuj | edytuj kod]

W 1890 roku Ernesto Cesàro zdefiniował szerszą rodzinę metod sumowania, którą określono mianem (C, n) dla nieujemnych liczb całkowitych n. Metoda (C,0) jest tradycyjnym sumowaniem, a (C,1) jest metodą sumowania Cesàro opisaną powyżej.

Metody wyższych rzędów można opisać następująco: mając dany szereg Σan, definiuje się wielkości

A_n^{-1}=a_n;\quad A_n^\alpha=\sum_{k=0}^n A_k^{\alpha-1}

oraz wprowadza Enα będące wartościami Anα dla szeregu 1 + 0 + 0 + 0 + · · ·. Wtedy suma (C, α) szeregu Σan jest oznaczana przez (C, α)-Σan i wynosi

(C,\alpha)-\sum_{j=0}^\infty a_j=\lim_{n\to\infty}\frac{A_n^\alpha}{E_n^\alpha}

jeśli istnieje[1].

Przypisy

  1. Shawyer & Watson s. 16–17

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]