Symbol q-Pochhammera

Symbol $q$-Pochhammera – w kombinatoryce, dziedzinie matematyki, $q$-analog zwykłego symbolu Pochhammera. Definiuje się ją wzorem

$(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k) = (1-a)(1-aq)(1-aq^2) \dots (1-aq^{n-1}).$

Symbol $q$-Pochhammera jest zasadniczym elementem konstrukcyjnym $q$-analogów; na przykład w teorii podstawowych szeregów hipergeometrycznych (lub $q$-szereg hipergeometryczny; ang. basic hypergeometric series, hypergeometric $q$-series) odgrywa on tę samą rolę, co zwykły symbol Pochhammera w teorii szeregów hipergeometrycznych.

W przeciwieństwie do zwykłego symbolu Pochhammera symbol $q$-Pochhammera może być rozwinięty w iloczyn nieskończony:

$(a;q)_\infty = \prod_{k=0}^{\infty} (1-aq^k).$

Jest to funkcja holomorficzna zmiennej $q$ we wnętrzu koła jednostkowego, może być ona również rozważana jako formalny szereg potęgowy zmiennej $q.$ Przypadek szczególny

$\phi(q) = (q;q)_\infty = \prod_{k=1}^\infty (1-q^k)$

jest znany jako funkcja Eulera i jest ważny w kombinatoryce, teorii liczb i teorii form modularnych.

$q$-szereg to szereg, którego współczynnikami są funkcje zmiennej $q,$ zazwyczaj zależne od $q$ poprzez symbole $q$-Pochhammera.

Tożsamości

Skończony iloczyn może być wyrażony jako iloczyn nieskończony postaci

$(a;q)_n = \frac{(a;q)_\infty} {(aq^n;q)_\infty},$

który rozszerza definicję na ujemne liczby całkowite $n.$ Dla nieujemnych $n$ otrzymuje się więc

$(a;q)_{-n} = \frac{1}{(aq^{-n};q)_n}$

oraz

$(a;q)_{-n} = \frac{(-q/a)^n q^{n(n-1)/2}} {(q/a;q)_n}.$

Symbol $q$-Pochhammera jest przedmiotem wielu tożsamości $q$-szeregów, w szczególności rozwinięć szeregów nieskończonych

$(x;q)_\infty = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_n} x^n$

oraz

$\frac{1}{(x;q)_\infty}=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{(q;q)_n},$

które są przypadkami szczególnymi twierdzenia o $q$-dwumianie:

$\frac{(ax;q)_\infty}{(x;q)_\infty} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a;q)_n}{(q;q)_n} x^n.$

Interpretacja kombinatoryczna

Symbol $q$-Pochhammera jest blisko związany z kombinatoryką zliczania podziałów. Współczynnik $q^m a^n$ w

$(a;q)_\infty^{-1} = \prod_{k=0}^{\infty} (1-aq^k)^{-1}$

jest liczbą podziałów $m$ na co najwyżej $n$ części.

Z własności sprzężenia podziałów liczba ta jest równa liczbie podziałów $m$ na części wielkości co najwyżej $n,$ utożsamienie szeregów generujących daje tożsamość wspomnianą w powyższej sekcji:

$(a;q)_\infty^{-1} = \sum_{k=0}^\infty \left(\prod_{j=1}^k \frac{1}{1-q^j} \right) a^k = \sum_{k=0}^\infty \frac{a^k}{(q;q)_k}.$

Jest też, że współczynnik $q^m a^n$ w

$(-a;q)_\infty = \prod_{k=0}^{\infty} (1+aq^k)$

jest liczbą podziałów $m$ na $n$ bądź $n - 1$ różnych części.

Usunąwszy podział trójkątny o $n-1$ częściach z takiego podziału uzyskuje się arbitralny podział na co najwyżej $n$ części. Daje to zachowującą wagę bijekcję między zbiorem podziałów na $n$ lub $n-1$ różnych części oraz zbiorem par składających się z podziałów trójkątnych o $n-1$ częściach i podziałem na co najwyżej $n$ części. Utożsamienie szeregów generujących prowadzi do następującej tożsamości:

$(-a;q)_\infty = \prod_{k=0}^\infty (1+aq^k) = \sum_{k=0}^\infty \left(q^{k\choose 2} \prod_{j=1}^k \frac{1}{1-q^j}\right) a^k = \sum_{k=0}^\infty \frac{q^{k\choose 2}}{(q;q)_k} a^k,$

również opisanej w sekcji wyżej.

Samo twierdzenie o $q$-dwumianie może być także opisane za pomocą bardziej kombinatorycznych argumentów podobnego rodzaju.

Konwencja wielu argumentów

Ponieważ tożsamości zawierające symbole $q$-Pochhammera często zawierają iloczyny wielu symboli, standardową konwencją jest zapis iloczynu jako pojedynczego symbolu wieloargumentowego:

$(a_1, a_2, \dots, a_m;q)_n = (a_1;q)_n (a_2;q)_n \dots (a_m;q)_n.$

Związek z $q$-nawiasem i $q$-dwumianem

Zauważając, iż

$\lim_{q \to 1} \frac{1-q^n}{1-q}=n,$

można zdefiniować $q$-analog n, znany także jako $q$-nawias lub $q$-liczbę n jako

$[n]_q = \frac{1-q^n}{1-q}.$

Za jego pomocą można zdefiniować $q$-analog silni, $q$-silnię, jako

$\begin{align} \big[n]_q! & = [1]_q [2]_q \dots [n-1]_q [n]_q \\ & = \frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \dots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q} \\ & = 1(1 + q) \dots (1 + q + \cdots + q^{n-2})(1 + q + \cdots + q^{n-1}) \\ & = \frac{(q;q)_n}{(1-q)^n}. \end{align}$

Raz jeszcze zwykła silnię uzyskuje się dążąc z $q$ do $1.$ Może to być interpretowane jako liczba flag w $n$-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem $q$-elementowym; biorąc granicę przy $q$ dążącym do $1$ uzyskuje się interpretację uporządkowania zbioru (permutacji) jako flagi w przestrzeni liniowej nad ciałem jednoelementowym.

Za pomocą $q$-silnii można zdefiniować współczynniki $q$-dwumianowe, znane również jako współczynniki Gaussa, wielomiany Gaussa bądź dwumiany Gaussa:

$\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}_q = \frac{[n]_q!}{[n-k]_q! [k]_q!}.$

Można sprawdzić, że

$\begin{bmatrix} n+1 \\ k \end{bmatrix}_q = \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix}_q + q^{n-k+1} \begin{bmatrix} n \\ k-1 \end{bmatrix}_q.$

Definiuje się również $q$-analog funkcji Gamma nazywany funkcją $q$-Gamma:

$\Gamma_q(x)=\frac{(1-q)^{1-x} (q;q)_\infty}{(q^x;q)_\infty}$

Zachodzą wzory

$\Gamma_q(x+1)=[x]_q\Gamma_q(x)$

oraz

$\Gamma_q(n+1)=[n]_q!$

Funkcja $q$-Gamma zbiega do zwykłej funkcji Gamma wraz z $q$ dążącym do $1$ wewnątrz koła jednostkowego.

Zobacz też

• podstawowy szereg hipergeometryczny
• $q$-pochodna
• funkcja $q$-theta
• eliptyczna funkcja gamma
• funkcja theta Jacobiego

Bibliografia

• George Gasper i Mizan Rahman, Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition, (2004), Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 96, Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-83357-4.
• Roelof Koekoek i Rene F. Swarttouw, The Askey scheme of orthogonal polynomials and its q-analogues, rozdział 0.2.

Linki zewnętrzne

• (ang.) Weisstein, Eric W., „$q$-analog” na MathWorld.
• (ang.) Weisstein, Eric W., „$q$-nawias” na MathWorld.
• (ang.) Weisstein, Eric W., „$q$-silnia” na MathWorld.
• (ang.) Weisstein, Eric W., „Współczynnik $q$-dwumianowy” na MathWorld.