Sympleks (matematyka)

Sympleks – w matematyce zbiór wypukły, będący uogólnieniem trójkąta i czworościanu na dowolną przestrzeń liniową.

Definicja za pomocą bazy

Sympleks $n\,$-wymiarowy to zbiór punktów (czyli wektorów) przestrzeni liniowej $n\,$-wymiarowej

$\{X=c+x_1 r_1+x_2 r_2+\dots+x_n r_n \colon r_1, r_2,\dots, r_n\geqslant 0\wedge r_1+r_2+\dots+r_n\leqslant 1\},\$

gdzie

• $c\;$ jest dowolnym ustalonym wektorem z tej przestrzeni,
• $S=\{x_1,\dots, x_n\}$ jest dowolną ustaloną bazą tej przestrzeni (zbiorem niezależnych wektorów).
• $r_n\;$ jest ...

Definicja za pomocą wierzchołków

Sympleksem $n\,$-wymiarowym o $n+1\,$ wierzchołkach $a_0,\ a_1,\ \dots,\ a_n$ będących punktami przestrzeni liniowej $n\,$-wymiarowej nazywamy najmniejszy zbiór wypukły zawierający te punkty, o ile wymiar tego zbioru wynosi $n$.

Wszystkie punkty należące do sympleksu są średnimi ważonymi z wierzchołków o wagach nieujemnych i sumie wag równej jeden (tzw. kombinacja wypukła). Czyli dla każdego punktu $X\;$ z sympleksu istnieją $r_0,\ r_1,\ r_2,\ \dots,\ r_n$ większe lub równe zero takie, że $X = r_0 a_0+r_1 a_1 + r_2 a_2 + \dots + r_n a_n$ oraz $r_0+r_1 + r_2 + \dots + r_n = 1.$ I odwrotnie, dla każdego układu wag tak zdefiniowany punkt $X\,$ będzie należał do sympleksu.

Przejście do podanej wcześniej definicji za pomocą bazy:

• $c=a_0,\;$
• $x_k=a_k-a_0.\;$
• $r_n\;$ jest ...

Przestrzeń euklidesowa

W przestrzeni euklidesowej:

• sympleks zerowymiarowy to punkt,
• sympleks jednowymiarowy to odcinek,
• sympleks dwuwymiarowy to trójkąt,
• sympleks trójwymiarowy to czworościan (niekoniecznie foremny),
• sympleks czterowymiarowy to 5-komórka,

i ogólnie:

• sympleks $(n+1)$-wymiarowy to wielokomórka, którego ścianami jest $n+1$ sympleksów $n$-wymiarowych.

Lista sympleksów

Poniżej znajduje się lista $n\$-wymiarowych sympleksów (do $n=10\$ włącznie).

Δn	Grafika (skośny rzut ortogonalny z ang: skew orthogonal projection)	Nazwa symbol Schläfliego diagram Coxetera-Dynkina	Wierzchołków 0-wym.	Krawędzi 1-wym.	Ścian 2-wym.	Komórek 3-wym.	4-wym.	5-wym.	6-wym.	7-wym.	8-wym.	9-wym.	10-wym.
Δ0		0-sympleks (Punkt)	1
Δ1		1-sympleks (Odcinek) {}	2	1
Δ2		2-sympleks (Trójkąt) {3}	3	3	1
Δ3		3-sympleks (Czworościan) {3,3}	4	6	4	1
Δ4		4-sympleks (pentachoron) {3,3,3}	5	10	10	5	1
Δ5		5-sympleks {3,3,3,3}	6	15	20	15	6	1
Δ6		6-sympleks {3,3,3,3,3}	7	21	35	35	21	7	1
Δ7		7-sympleks {3,3,3,3,3,3}	8	28	56	70	56	28	8	1
Δ8		8-sympleks {3,3,3,3,3,3,3}	9	36	84	126	126	84	36	9	1
Δ9		9-sympleks {3,3,3,3,3,3,3,3}	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1
Δ10		10-sympleks {3,3,3,3,3,3,3,3,3}	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	1

Wielkości opisujące sympleks

Liczba k-wymiarowych sympleksów w sympleksie n-wymiarowym

Dana jest dwuargumentowa funkcja N(n, k) określająca liczbę sympleksów k-wymiarowych w sympleksie n-wymiarowym, przy czym n≥k. Oczywiste jest wówczas, że dowolny sympleks n-wymiarowy składa się z:

• n+1 sympleksów zerowymiarowych, czyli wierzchołków:

$N(n, k)=n+1;\;\;\;k=0\,$

• dokładnie jednego sympleksu n-wymiarowego, czyli z samego siebie:

$N(n, k)=1;\;\;\;k=n\,$

Aby, mając dany n-wymiarowy sympleks, utworzyć na jego podstawie sympleks (n+1)-wymiarowy, należy dodać 1 nowy wierzchołek. Wynika stąd, iż (n+1)-wymiarowy sympleks będzie miał o 1 wierzchołek więcej, niż sympleks n-wymiarowy. Nowe krawędzie (sympleksy jednowymiarowe) dodajemy, łącząc wszystkie wierzchołki pierwotnego sympleksu z nowo utworzonym wierzchołkiem. Tak więc liczba krawędzi w obecnym sympleksie zwiększy się o liczbę wierzchołków w sympleksie pierwotnym. Nowe ściany (sympleksy dwuwymiarowe) tworzymy natomiast, łącząc wszystkie wierzchołki starego sympleksu z nowym wierzchołkiem. Stąd też liczba ścian nowego sympleksu powiększy się o liczbę krawędzi w starym sympleksie, itd. Uogólniając powyższe spostrzeżenie na dowolny wymiar: każdy n-wymiarowy sympleks posiada pewną liczbę sympleksów k-wymiarowych, która jest równa liczbie tych sympleksów dla (n-1)-wymiarowego sympleksu, powiększoną o liczbę sympleksów (k-1)-wymiarowych dla tegoż sympleksu. To wszystko zachodzi oczywiście dla 0<k<n:

$N(n, k)=N(n-1, k-1)+N(n-1, k);\;\;\;0<k<n\,$

Z powyższych rozważań utworzyć można rekurencyjny wzór na liczbę k-wymiarowych sympleksów w dowolnym sympleksie n-wymiarowym:

$N(n, k)=\left\{\begin{array}{l} n+1;\;\;\;k=0 \\ 1;\;\;\;k=n \\ N(n-1, k-1)+N(n-1, k);\;\;\;0<k<n \end{array}\right.$

Zauważmy, że gdyby $N(n, k)=n;\;\;\;k=1$ wówczas powyższy wzór opisywałby symbol Newtona, czyli $N(n, k)={n \choose k}$ Jednak ponieważ $N(n, k)=n+1;\;\;\;k=0$ jedynym racjonalnym wzorem, spełniającym wszystkie 3 powyższe warunki wzoru rekurencyjnego, jest $N(n, k)={n+1 \choose k+1}$ Dlatego też ostatecznie wzór jawny na liczbę k-wymiarowych sympleksów w dowolnym sympleksie n-wymiarowym wyraża się wzorem:

$N(n, k)={n+1 \choose k+1}$

Środek masy sympleksu

• Definicja jawna

Jest to punkt będący średnią arytmetyczną odpowiednich współrzędnych wszystkich n+1 wierzchołków n-wymiarowego sympleksu:

$S_n=\frac 1{n+1}\sum\limits_{k=1}^{n+1}P_k$

• Definicja rekurencyjna

Dla sympleksu jednowymiarowego (odcinka) - średnia arytmetyczna odpowiednich współrzędnych obu wierzchołków.

Dla sympleksu n-wymiarowego, gdzie n≥2 - punkt przecięcia się wszystkich środkowych sympleksu, przy czym środkowa sympleksu jest to odcinek łączący dowolny wierzchołek ze środkiem masy sympleksu (n-1)-wymiarowego przeciwległego do tego wierzchołka.

Środek masy sympleksu foremnego

Dowolny n-wymiarowy sympleks foremny można zorientować w n-wymiarowym kartezjańskim układzie współrzędnych w taki sposób, aby wartości n-tej współrzędnej dla n wierzchołków były równe 0, zaś wartość tej współrzędnej dla (n+1)-ego wierzchołka była różna od 0. Wówczas owe n wierzchołków tworzy pewien (n-1)-wymiarowy sympleks foremny, będący podstawą naszego sympleksu n-wymiarowego, zaś wartość n-tej współrzędnej określa jego wysokość. Ponieważ wartości tej współrzędnej wszystkich wierzchołków podstawy wynosi 0, jej wartość dla ich średniej arytmetycznej również wynosi 0. Wynika stąd, iż n-ta współrzędna dla środka masy podstawy także ma wartość 0. Jedynie współrzędna ta dla (n+1)-ego wierzchołka ma wartość różną od 0. W takim razie wartość n-tej współrzędnej dla wszystkich n+1 wierzchołków jest sumą n zer i jednej wartości różnej od zera, podzieloną przez n+1. Tak więc wartość tejże współrzędnej dla środka masy naszego n-wymiarowego sympleksu jest ilorazem jego wysokości podzieloną przez n+1. Ostatecznie, środek danego sympleksu n-wymiarowego $S_n\,$ położony jest w odległości równej $\frac 1{n+1}$ jego wysokości od środka masy jego podstawy $S_{n-1}\,$ i w odległości wynoszącej $\frac n{n+1}$ jego wysokości od wierzchołka przeciwległego do tej podstawy $P_{n+1}\,$:

$|S_n S_{n-1}|=h_n \cdot \frac 1{n+1}$

$|S_n P_{n+1}|=h_n \cdot \frac n{n+1}$

Wysokość sympleksu foremnego

Biorąc pod uwagę definicję sympleksu foremnego, jego podstawy, jak również i wysokości, udowodnić można prawdziwość poniższej rekurencyjnej zależności pomiędzy wysokością n-wymiarowego sympleksu foremnego $h_n\,$ a wysokością jego podstawy $h_{n-1}\,$:

$h_n=\sqrt {h_{n-1}^2-\frac {h_{n-1}^2}{n^2}}$

Powyższą zależność odpowiednio przekształcamy:

$\sqrt {h_{n-1}^2-\frac {h_{n-1}^2}{n^2}}=h_{n-1} \sqrt {1-\frac 1 {n^2}}={h_{n-1}} \cdot \frac {\sqrt {n^2-1}} n={h_{n-1}} \cdot \frac {\sqrt {(n-1)(n+1)}} n=h_n$

Jako warunek brzegowy tej rekurencyjnej zależności, zakładamy, że wysokość 1-wymiarowego sympleksu foremnego, czyli odcinka, jest równy długości tegoż odcinka, czyli długości krawędzi naszego sympleksu:

$h_1=x\,$

Następnie, chcąc policzyć wysokość dowolnego n-wymiarowego sympleksu foremnego, podstawiamy do powyższej rekurencyjnej zależności odpowiednio kolejne wartości dla k równego od 1 do n. W wyniku tego otrzymujemy następujący iloczyn:

$h_n=x \cdot \frac {\sqrt {1 \cdot 3}} 2 \cdot \frac {\sqrt {2 \cdot 4}} 3 \cdot ... \cdot \frac {\sqrt {(n-2)n}}{n-1} \cdot \frac {\sqrt {(n-1)(n+1)}} n$

Upraszczamy możliwie najbardziej powyższe wyrażenie:

$h_n=x \cdot \frac {\sqrt {(1 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 4) \cdot ... \cdot (n-2)n \cdot (n-1)(n+1)}}{n!}=x \cdot \frac {\sqrt {1 \cdot 2 \cdot (\frac {(n-1)!} 2)^2 \cdot n \cdot (n+1)}}{n!}=$

$=x \cdot \frac {(n-1)! \sqrt {2n(n+1)}}{2n!}=x \cdot \frac {\sqrt {2n(n+1)}}{2n}=x \sqrt {\frac {n+1}{2n}}$

Ostatecznie, wysokość $n\,$-wymiarowego sympleksu foremnego o krawędzi długości $x\,$ wyraża się wzorem:

$h_n=x \sqrt \frac {n+1}{2n}$

Natomiast rekurencyjna zależność na tę wysokość:

$h_n=\left\{\begin{array}{l} x;\;\;\;n=1 \\ {h_{n-1}} \cdot \frac {\sqrt {(n-1)(n+1)}} n;\;\;\;n>1 \end{array}\right.$

Nietrudno policzyć, że wysokość sympleksu foremnego o nieskończonej liczbie wymiarów dąży do:

$\lim_{n \to \infty} h_n=\lim_{n \to \infty} x \sqrt \frac {n+1}{2n}=\frac {x \sqrt 2} 2$

Miara główna sympleksu foremnego

Pod pojęciem miary głównej n-wymiarowego sympleksu foremnego rozumieć należy wielkość będącą uogólnieniem długości odcinka, pola powierzchni trójkąta równobocznego oraz objętości czworościanu foremnego, na n-ty wymiar. Dowolny n-wymiarowy sympleks foremny można podzielić na podstawę, składającą się z n wierzchołków, oraz (n+1)-ego przeciwległego do tej podstawy wierzchołka. Pomiędzy podstawą a przeciwległym do niej wierzchołkiem istnieje pewna wielkość zwana wysokością sympleksu, która jest równa odległości tego wierzchołka od (n-1)-wymiarowej hiperpłaszczyzny, w której zawarta jest podstawa. Wysokość sympleksu jest liniowo wprost proporcjonalna do odległości podstawy od przeciwległego do niej wierzchołka. Gdyby połączyć każdy wierzchołek podstawy z wierzchołkiem do niej przeciwległym, wówczas można zauważyć, że nasz n-wymiarowy sympleks jest odzwierciedleniem tejże podstawy, znajdującej się w pewnej odległości od jej przeciwległego wierzchołka, w pewnej skali. Ponieważ wszystkie odcinki, uzyskane z połączenia wierzchołków należących do podstawy z przeciwległym do niej wierzchołkiem, są liniami prostymi, skala długości krawędzi podstawy jest liniowo wprost proporcjonalna do jej odległości od jej przeciwległego wierzchołka. Natomiast stosunek skal (n-1)-wymiarowych miar głównych dwóch podstaw jest równy (n-1)-szej potędze stosunku długości odpowiednich krawędzi tych podstaw. Wynika więc stąd, iż stosunek skal (n-1)-wymiarowych miar głównych dwóch podstaw $X_{(n-1)1}\,$ i $X_{(n-1)2}\,$ jest równy (n-1)-szej potędze stosunku odpowiednich wysokości $h_{n1}\,$ i $h_{n2}\,$ łączących te podstawy z przeciwległym do nich wierzchołkiem:

$\frac {X_{(n-1)1}}{X_{(n-1)2}}=(\frac {h_{n1}}{h_{n2}})^{n-1}\;\;\;| \cdot X_{(n-1)2}$

Mnożąc obie strony powyższego równania przez $X_{(n-1)2}\,$ otrzymujemy:

$X_{(n-1)1}=X_{(n-1)2}(\frac {h_{n1}}{h_{n2}})^{n-1}$

Zakładamy, że pierwsza podstawa jest skalą podstawy naszego n-wymiarowego sympleksu foremnego w zależności od zmiennej z przedziału od 0 do $h_n\,$, zaś druga podstawa jest podstawą tegoż sympleksu oraz pierwsza wysokość jest zmienną w przedziale od 0 do $h_n\,$ zaś druga wysokość jest wysokością tego sympleksu:

$X_{(n-1)2}=X_{n-1}\,$

$h_{n1}=x\,$

$h_{n2}=h_n\,$

Wówczas miara główna naszego n-wymiarowego sympleksu foremnego jest całką od 0 do $h_n\,$ ze skali tego sympleksu w zależności od zmiennej z przedziału od 0 do $h_n\,$:

$X_n=\int\limits^{h_n}_0 \, X_{n-1}(\frac h h_n)^{n-1} dh =\frac {X_{n-1}}{h_n^{n-1}} \int\limits^{h_n}_0 \, h^{n-1} dh =\frac {X_{n-1}}{h_n^{n-1}} \left[ \frac {h^n} n \right]_0^{h_n} =\frac {X_{n-1}}{h_n^{n-1}} \cdot \frac {h_n^n} n=\frac 1 n X_{n-1} h_n$

Tak więc z powyższego wyrażenia wynika, iż miara główna n-wymiarowego sympleksu foremnego jest równa iloczynowi współczynnika $\frac 1 n$ miary głównej podstawy tegoż sympleksu oraz jego wysokości, co ma charakter rekurencyjny:

$X_n=\frac 1 n X_{n-1} h_n$

Ze wzoru na wysokość sympleksu foremnego łatwo zauważyć, że wysokość 1-wymiarowego sympleksu foremnego, a więc dla n=1, jest równa długości jego krawędzi:

$h_1=x\,$

Następnie, chcąc policzyć miarę główną naszego sympleksu, podstawiamy do powyższej rekurencyjnej zależności odpowiednio kolejne wartości dla k równego od 1 do n. W wyniku tego otrzymujemy następujący iloczyn:

$X_n=\frac 1 2 \cdot \frac 1 3 \cdot ... \cdot \frac 1 {n-1} \cdot \frac 1 n \cdot h_1 \cdot h_2 \cdot ... \cdot h_{n-1} \cdot h_n$

Upraszczamy możliwie najbardziej powyższe wyrażenie:

$X_n=\frac 1 {n!} \cdot x \cdot \frac {x \sqrt 3} 2 \cdot ... \cdot x \sqrt \frac n {2(n-1)} \cdot x \sqrt \frac {n+1}{2n}=\frac 1 {n!} \cdot x^n \sqrt {\frac 2 {2 \cdot 1} \cdot \frac 3 {2 \cdot 2} \cdot ... \cdot \frac n {2(n-1)} \cdot \frac {n+1}{2n}}=$

$=\frac {x^n}{n!} \sqrt \frac {(n+1)!} {2^n n!}=\frac {x^n}{n!} \sqrt \frac {n+1}{2^n}$

Ostatecznie, miara główna $n\,$-wymiarowego sympleksu foremnego o krawędzi długości $x\,$ wyraża się wzorem:

$X_n=\frac {x^n}{n!} \sqrt \frac {n+1}{2^n}$

Natomiast rekurencyjna zależność na miarę główną naszego sympleksu:

$X_n=\left\{\begin{array}{l} x^n;\;\;\;n \leqslant 1 \\ \frac 1 n X_{n-1} h_n;\;\;\;n>1 \end{array}\right.$

Nietrudno policzyć, że miara główna sympleksu foremnego o nieskończonej liczbie wymiarów dąży do:

$\lim_{n \to \infty} X_n=\lim_{n \to \infty} \frac {x^n}{n!} \sqrt \frac {n+1}{2^n}=0$

Całkowita miara k-wymiarowa sympleksu foremnego n-wymiarowego

Pod pojęciem k-wymiarowej miary całkowitej n-wymiarowego sympleksu foremnego rozumieć należy wielkość będącą uogólnieniem obwodu (całkowitej miary 1-wymiarowej) trójkąta równobocznego (sympleksu foremnego 2-wymiarowego), czworościanu foremnego (sympleksu foremnego 3-wymiarowego) oraz jego pola powierzchni całkowitej (całkowitej miary 2-wymiarowej), odpowiednio na k-ty i n-ty wymiar. Nietrudno zauważyć, że dowolny n-wymiarowy sympleks foremny o krawędzi długości x składa się z N(n, k) jednakowych k-wymiarowych sympleksów foremnych, z których długości poszczególnych krawędzi również są równe x. Tak więc $k\,$-wymiarowa miara całkowita $n\,$-wymiarowego sympleksu foremnego o krawędzi długości $x\,$ jest równa iloczynowi miary głównej pojedynczego k-wymiarowego sympleksu foremnego o długości krawędzi, która także wynosi x, czyli $X_k\,$ oraz liczby wszystkich takich k-wymiarowych sympleksów foremnych w danym n-wymiarowym sympleksie foremnym $N(n, k)\,$:

$X_{kn}=N(n, k) \cdot X_k={n+1 \choose k+1} \frac {x^k}{k!} \sqrt \frac {k+1}{2^k}$

Nietrudno policzyć, że dowolna k-wymiarowa miara całkowita sympleksu foremnego o nieskończonej liczbie wymiarów dąży do:

$\lim_{n \to \infty} X_{kn}=\lim_{n \to \infty} {n+1 \choose k+1} \frac {x^k}{k!} \sqrt \frac {k+1}{2^k} \to \infty$

Zobacz też

• współrzędne barycentryczne
• barycentrum
• antypodyzm
• retrakcja

Bibliografia

• Jerzy Mioduszewski: Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, 1994. ISSN 0239-6432.