Sympleks (matematyka)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Sympleks – w matematyce zbiór wypukły, będący uogólnieniem trójkąta i czworościanu na dowolną przestrzeń liniową.

Definicja za pomocą bazy[edytuj | edytuj kod]

Sympleks n\,-wymiarowy to zbiór punktów (czyli wektorów) przestrzeni liniowej n\,-wymiarowej

\{X=c+x_1 r_1+x_2 r_2+\dots+x_n r_n \colon r_1, r_2,\dots, r_n\geqslant 0\wedge r_1+r_2+\dots+r_n\leqslant 1\},\

gdzie

  • c\; jest dowolnym ustalonym wektorem z tej przestrzeni,
  • S=\{x_1,\dots, x_n\} jest dowolną ustaloną bazą tej przestrzeni (zbiorem niezależnych wektorów).
  • r_n\; jest ...

Definicja za pomocą wierzchołków[edytuj | edytuj kod]

Sympleksem n\,-wymiarowym o n+1\, wierzchołkach a_0,\ a_1,\ \dots,\ a_n będących punktami przestrzeni liniowej n\,-wymiarowej nazywamy najmniejszy zbiór wypukły zawierający te punkty, o ile wymiar tego zbioru wynosi n.

Wszystkie punkty należące do sympleksu są średnimi ważonymi z wierzchołków o wagach nieujemnych i sumie wag równej jeden (tzw. kombinacja wypukła). Czyli dla każdego punktu X\; z sympleksu istnieją r_0,\ r_1,\ r_2,\ \dots,\ r_n większe lub równe zero takie, że X = r_0 a_0+r_1 a_1 + r_2 a_2 + \dots + r_n a_n oraz r_0+r_1 + r_2 + \dots + r_n = 1. I odwrotnie, dla każdego układu wag tak zdefiniowany punkt X\, będzie należał do sympleksu.

Przejście do podanej wcześniej definicji za pomocą bazy:

  • c=a_0,\;
  • x_k=a_k-a_0.\;
  • r_n\; jest ...

Przestrzeń euklidesowa[edytuj | edytuj kod]

W przestrzeni euklidesowej:

i ogólnie:

  • sympleks (n+1)-wymiarowy to wielokomórka, którego ścianami jest n+1 sympleksów n-wymiarowych.

Lista sympleksów[edytuj | edytuj kod]

Poniżej znajduje się lista n\ -wymiarowych sympleksów (do n=10\ włącznie).

Δn Grafika
(skośny rzut ortogonalny z ang:
skew orthogonal projection)
Nazwa
symbol Schläfliego
diagram Coxetera-Dynkina
Wierzchołków
0-wym.
Krawędzi
1-wym.
Ścian
2-wym.
Komórek
3-wym.
4-wym. 5-wym. 6-wym. 7-wym. 8-wym. 9-wym. 10-wym.
Δ0 Complete graph K1.svg 0-sympleks (Punkt) 1                    
Δ1 Complete graph K2.svg 1-sympleks (Odcinek)
{}
CDW ring.png
2 1                  
Δ2 Complete graph K3.svg 2-sympleks (Trójkąt)
{3}
CDW ring.png CDW 3b.png CDW dot.png
3 3 1                
Δ3 Complete graph K4.svg 3-sympleks (Czworościan)
{3,3}
CDW ring.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png
4 6 4 1              
Δ4 Complete graph K5.svg 4-sympleks (pentachoron)
{3,3,3}
CDW ring.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png
5 10 10 5 1            
Δ5 Complete graph K6.svg 5-sympleks
{3,3,3,3}
CDW ring.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png
6 15 20 15 6 1          
Δ6 Complete graph K7.svg 6-sympleks
{3,3,3,3,3}
CDW ring.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png
7 21 35 35 21 7 1        
Δ7 Complete graph K8.svg 7-sympleks
{3,3,3,3,3,3}
CDW ring.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png
8 28 56 70 56 28 8 1      
Δ8 Complete graph K9.svg 8-sympleks
{3,3,3,3,3,3,3}
CDW ring.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png
9 36 84 126 126 84 36 9 1    
Δ9 Complete graph K10.svg 9-sympleks
{3,3,3,3,3,3,3,3}
CDW ring.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png
10 45 120 210 252 210 120 45 10 1  
Δ10 Complete graph K11.svg 10-sympleks
{3,3,3,3,3,3,3,3,3}
CDW ring.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png CDW 3b.png CDW dot.png
11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

Wielkości opisujące sympleks[edytuj | edytuj kod]

Liczba k-wymiarowych sympleksów w sympleksie n-wymiarowym[edytuj | edytuj kod]

Dana jest dwuargumentowa funkcja N(n, k) określająca liczbę sympleksów k-wymiarowych w sympleksie n-wymiarowym, przy czym n≥k. Oczywiste jest wówczas, że dowolny sympleks n-wymiarowy składa się z:

N(n, k)=n+1;\;\;\;k=0\,
  • dokładnie jednego sympleksu n-wymiarowego, czyli z samego siebie:
N(n, k)=1;\;\;\;k=n\,

Aby, mając dany n-wymiarowy sympleks, utworzyć na jego podstawie sympleks (n+1)-wymiarowy, należy dodać 1 nowy wierzchołek. Wynika stąd, iż (n+1)-wymiarowy sympleks będzie miał o 1 wierzchołek więcej, niż sympleks n-wymiarowy. Nowe krawędzie (sympleksy jednowymiarowe) dodajemy, łącząc wszystkie wierzchołki pierwotnego sympleksu z nowo utworzonym wierzchołkiem. Tak więc liczba krawędzi w obecnym sympleksie zwiększy się o liczbę wierzchołków w sympleksie pierwotnym. Nowe ściany (sympleksy dwuwymiarowe) tworzymy natomiast, łącząc wszystkie wierzchołki starego sympleksu z nowym wierzchołkiem. Stąd też liczba ścian nowego sympleksu powiększy się o liczbę krawędzi w starym sympleksie, itd. Uogólniając powyższe spostrzeżenie na dowolny wymiar: każdy n-wymiarowy sympleks posiada pewną liczbę sympleksów k-wymiarowych, która jest równa liczbie tych sympleksów dla (n-1)-wymiarowego sympleksu, powiększoną o liczbę sympleksów (k-1)-wymiarowych dla tegoż sympleksu. To wszystko zachodzi oczywiście dla 0<k<n:

N(n, k)=N(n-1, k-1)+N(n-1, k);\;\;\;0<k<n\,

Z powyższych rozważań utworzyć można rekurencyjny wzór na liczbę k-wymiarowych sympleksów w dowolnym sympleksie n-wymiarowym:

N(n, k)=\left\{\begin{array}{l} n+1;\;\;\;k=0 \\ 1;\;\;\;k=n \\ N(n-1, k-1)+N(n-1, k);\;\;\;0<k<n \end{array}\right.

Zauważmy, że gdyby N(n, k)=n;\;\;\;k=1 wówczas powyższy wzór opisywałby symbol Newtona, czyli N(n, k)={n \choose k} Jednak ponieważ N(n, k)=n+1;\;\;\;k=0 jedynym racjonalnym wzorem, spełniającym wszystkie 3 powyższe warunki wzoru rekurencyjnego, jest N(n, k)={n+1 \choose k+1} Dlatego też ostatecznie wzór jawny na liczbę k-wymiarowych sympleksów w dowolnym sympleksie n-wymiarowym wyraża się wzorem:

N(n, k)={n+1 \choose k+1}

Środek masy sympleksu[edytuj | edytuj kod]

  • Definicja jawna

Jest to punkt będący średnią arytmetyczną odpowiednich współrzędnych wszystkich n+1 wierzchołków n-wymiarowego sympleksu:

S_n=\frac 1{n+1}\sum\limits_{k=1}^{n+1}P_k
  • Definicja rekurencyjna

Dla sympleksu jednowymiarowego (odcinka) - średnia arytmetyczna odpowiednich współrzędnych obu wierzchołków.

Dla sympleksu n-wymiarowego, gdzie n≥2 - punkt przecięcia się wszystkich środkowych sympleksu, przy czym środkowa sympleksu jest to odcinek łączący dowolny wierzchołek ze środkiem masy sympleksu (n-1)-wymiarowego przeciwległego do tego wierzchołka.

Środek masy sympleksu foremnego[edytuj | edytuj kod]

Dowolny n-wymiarowy sympleks foremny można zorientować w n-wymiarowym kartezjańskim układzie współrzędnych w taki sposób, aby wartości n-tej współrzędnej dla n wierzchołków były równe 0, zaś wartość tej współrzędnej dla (n+1)-ego wierzchołka była różna od 0. Wówczas owe n wierzchołków tworzy pewien (n-1)-wymiarowy sympleks foremny, będący podstawą naszego sympleksu n-wymiarowego, zaś wartość n-tej współrzędnej określa jego wysokość. Ponieważ wartości tej współrzędnej wszystkich wierzchołków podstawy wynosi 0, jej wartość dla ich średniej arytmetycznej również wynosi 0. Wynika stąd, iż n-ta współrzędna dla środka masy podstawy także ma wartość 0. Jedynie współrzędna ta dla (n+1)-ego wierzchołka ma wartość różną od 0. W takim razie wartość n-tej współrzędnej dla wszystkich n+1 wierzchołków jest sumą n zer i jednej wartości różnej od zera, podzieloną przez n+1. Tak więc wartość tejże współrzędnej dla środka masy naszego n-wymiarowego sympleksu jest ilorazem jego wysokości podzieloną przez n+1. Ostatecznie, środek danego sympleksu n-wymiarowego S_n\, położony jest w odległości równej \frac 1{n+1} jego wysokości od środka masy jego podstawy S_{n-1}\, i w odległości wynoszącej \frac n{n+1} jego wysokości od wierzchołka przeciwległego do tej podstawy P_{n+1}\,:

 |S_n S_{n-1}|=h_n \cdot \frac 1{n+1}
 |S_n P_{n+1}|=h_n \cdot \frac n{n+1}

Wysokość sympleksu foremnego[edytuj | edytuj kod]

Biorąc pod uwagę definicję sympleksu foremnego, jego podstawy, jak również i wysokości, udowodnić można prawdziwość poniższej rekurencyjnej zależności pomiędzy wysokością n-wymiarowego sympleksu foremnego h_n\, a wysokością jego podstawy h_{n-1}\,:

h_n=\sqrt {h_{n-1}^2-\frac {h_{n-1}^2}{n^2}}

Powyższą zależność odpowiednio przekształcamy:

\sqrt {h_{n-1}^2-\frac {h_{n-1}^2}{n^2}}=h_{n-1} \sqrt {1-\frac 1 {n^2}}={h_{n-1}} \cdot \frac {\sqrt {n^2-1}} n={h_{n-1}} \cdot \frac {\sqrt {(n-1)(n+1)}} n=h_n

Jako warunek brzegowy tej rekurencyjnej zależności, zakładamy, że wysokość 1-wymiarowego sympleksu foremnego, czyli odcinka, jest równy długości tegoż odcinka, czyli długości krawędzi naszego sympleksu:

h_1=x\,

Następnie, chcąc policzyć wysokość dowolnego n-wymiarowego sympleksu foremnego, podstawiamy do powyższej rekurencyjnej zależności odpowiednio kolejne wartości dla k równego od 1 do n. W wyniku tego otrzymujemy następujący iloczyn:

h_n=x \cdot \frac {\sqrt {1 \cdot 3}} 2 \cdot \frac {\sqrt {2 \cdot 4}} 3 \cdot ... \cdot \frac {\sqrt {(n-2)n}}{n-1} \cdot \frac {\sqrt {(n-1)(n+1)}} n

Upraszczamy możliwie najbardziej powyższe wyrażenie:

h_n=x \cdot \frac {\sqrt {(1 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 4) \cdot ... \cdot (n-2)n \cdot (n-1)(n+1)}}{n!}=x \cdot \frac {\sqrt {1 \cdot 2 \cdot (\frac {(n-1)!} 2)^2 \cdot n \cdot (n+1)}}{n!}=
=x \cdot \frac {(n-1)! \sqrt {2n(n+1)}}{2n!}=x \cdot \frac {\sqrt {2n(n+1)}}{2n}=x \sqrt {\frac {n+1}{2n}}

Ostatecznie, wysokość n\,-wymiarowego sympleksu foremnego o krawędzi długości x\, wyraża się wzorem:

h_n=x \sqrt \frac {n+1}{2n}

Natomiast rekurencyjna zależność na tę wysokość:

h_n=\left\{\begin{array}{l} x;\;\;\;n=1 \\ {h_{n-1}} \cdot \frac {\sqrt {(n-1)(n+1)}} n;\;\;\;n>1 \end{array}\right.

Nietrudno policzyć, że wysokość sympleksu foremnego o nieskończonej liczbie wymiarów dąży do:

\lim_{n \to \infty} h_n=\lim_{n \to \infty} x \sqrt \frac {n+1}{2n}=\frac {x \sqrt 2} 2

Miara główna sympleksu foremnego[edytuj | edytuj kod]

Pod pojęciem miary głównej n-wymiarowego sympleksu foremnego rozumieć należy wielkość będącą uogólnieniem długości odcinka, pola powierzchni trójkąta równobocznego oraz objętości czworościanu foremnego, na n-ty wymiar. Dowolny n-wymiarowy sympleks foremny można podzielić na podstawę, składającą się z n wierzchołków, oraz (n+1)-ego przeciwległego do tej podstawy wierzchołka. Pomiędzy podstawą a przeciwległym do niej wierzchołkiem istnieje pewna wielkość zwana wysokością sympleksu, która jest równa odległości tego wierzchołka od (n-1)-wymiarowej hiperpłaszczyzny, w której zawarta jest podstawa. Wysokość sympleksu jest liniowo wprost proporcjonalna do odległości podstawy od przeciwległego do niej wierzchołka. Gdyby połączyć każdy wierzchołek podstawy z wierzchołkiem do niej przeciwległym, wówczas można zauważyć, że nasz n-wymiarowy sympleks jest odzwierciedleniem tejże podstawy, znajdującej się w pewnej odległości od jej przeciwległego wierzchołka, w pewnej skali. Ponieważ wszystkie odcinki, uzyskane z połączenia wierzchołków należących do podstawy z przeciwległym do niej wierzchołkiem, są liniami prostymi, skala długości krawędzi podstawy jest liniowo wprost proporcjonalna do jej odległości od jej przeciwległego wierzchołka. Natomiast stosunek skal (n-1)-wymiarowych miar głównych dwóch podstaw jest równy (n-1)-szej potędze stosunku długości odpowiednich krawędzi tych podstaw. Wynika więc stąd, iż stosunek skal (n-1)-wymiarowych miar głównych dwóch podstaw X_{(n-1)1}\, i X_{(n-1)2}\, jest równy (n-1)-szej potędze stosunku odpowiednich wysokości h_{n1}\, i h_{n2}\, łączących te podstawy z przeciwległym do nich wierzchołkiem:

\frac {X_{(n-1)1}}{X_{(n-1)2}}=(\frac {h_{n1}}{h_{n2}})^{n-1}\;\;\;| \cdot X_{(n-1)2}

Mnożąc obie strony powyższego równania przez X_{(n-1)2}\, otrzymujemy:

X_{(n-1)1}=X_{(n-1)2}(\frac {h_{n1}}{h_{n2}})^{n-1}

Zakładamy, że pierwsza podstawa jest skalą podstawy naszego n-wymiarowego sympleksu foremnego w zależności od zmiennej z przedziału od 0 do h_n\,, zaś druga podstawa jest podstawą tegoż sympleksu oraz pierwsza wysokość jest zmienną w przedziale od 0 do h_n\, zaś druga wysokość jest wysokością tego sympleksu:

X_{(n-1)2}=X_{n-1}\,
h_{n1}=x\,
h_{n2}=h_n\,

Wówczas miara główna naszego n-wymiarowego sympleksu foremnego jest całką od 0 do h_n\, ze skali tego sympleksu w zależności od zmiennej z przedziału od 0 do h_n\,:

X_n=\int\limits^{h_n}_0 \, X_{n-1}(\frac h h_n)^{n-1} dh =\frac {X_{n-1}}{h_n^{n-1}} \int\limits^{h_n}_0 \, h^{n-1} dh =\frac {X_{n-1}}{h_n^{n-1}} \left[ \frac {h^n} n \right]_0^{h_n} =\frac {X_{n-1}}{h_n^{n-1}} \cdot \frac {h_n^n} n=\frac 1 n X_{n-1} h_n

Tak więc z powyższego wyrażenia wynika, iż miara główna n-wymiarowego sympleksu foremnego jest równa iloczynowi współczynnika \frac 1 n miary głównej podstawy tegoż sympleksu oraz jego wysokości, co ma charakter rekurencyjny:

X_n=\frac 1 n X_{n-1} h_n

Ze wzoru na wysokość sympleksu foremnego łatwo zauważyć, że wysokość 1-wymiarowego sympleksu foremnego, a więc dla n=1, jest równa długości jego krawędzi:

h_1=x\,

Następnie, chcąc policzyć miarę główną naszego sympleksu, podstawiamy do powyższej rekurencyjnej zależności odpowiednio kolejne wartości dla k równego od 1 do n. W wyniku tego otrzymujemy następujący iloczyn:

X_n=\frac 1 2 \cdot \frac 1 3 \cdot ... \cdot \frac 1 {n-1} \cdot \frac 1 n \cdot h_1 \cdot h_2 \cdot ... \cdot h_{n-1} \cdot h_n

Upraszczamy możliwie najbardziej powyższe wyrażenie:

X_n=\frac 1 {n!} \cdot x \cdot \frac {x \sqrt 3} 2 \cdot ... \cdot x \sqrt \frac n {2(n-1)} \cdot x \sqrt \frac {n+1}{2n}=\frac 1 {n!} \cdot x^n \sqrt {\frac 2 {2 \cdot 1} \cdot \frac 3 {2 \cdot 2} \cdot ... \cdot \frac n {2(n-1)} \cdot \frac {n+1}{2n}}=
=\frac {x^n}{n!} \sqrt \frac {(n+1)!} {2^n n!}=\frac {x^n}{n!} \sqrt \frac {n+1}{2^n}

Ostatecznie, miara główna n\,-wymiarowego sympleksu foremnego o krawędzi długości x\, wyraża się wzorem:

X_n=\frac {x^n}{n!} \sqrt \frac {n+1}{2^n}

Natomiast rekurencyjna zależność na miarę główną naszego sympleksu:

X_n=\left\{\begin{array}{l} x^n;\;\;\;n \leqslant 1 \\ \frac 1 n X_{n-1} h_n;\;\;\;n>1 \end{array}\right.

Nietrudno policzyć, że miara główna sympleksu foremnego o nieskończonej liczbie wymiarów dąży do:

\lim_{n \to \infty} X_n=\lim_{n \to \infty} \frac {x^n}{n!} \sqrt \frac {n+1}{2^n}=0

Całkowita miara k-wymiarowa sympleksu foremnego n-wymiarowego[edytuj | edytuj kod]

Pod pojęciem k-wymiarowej miary całkowitej n-wymiarowego sympleksu foremnego rozumieć należy wielkość będącą uogólnieniem obwodu (całkowitej miary 1-wymiarowej) trójkąta równobocznego (sympleksu foremnego 2-wymiarowego), czworościanu foremnego (sympleksu foremnego 3-wymiarowego) oraz jego pola powierzchni całkowitej (całkowitej miary 2-wymiarowej), odpowiednio na k-ty i n-ty wymiar. Nietrudno zauważyć, że dowolny n-wymiarowy sympleks foremny o krawędzi długości x składa się z N(n, k) jednakowych k-wymiarowych sympleksów foremnych, z których długości poszczególnych krawędzi również są równe x. Tak więc k\,-wymiarowa miara całkowita n\,-wymiarowego sympleksu foremnego o krawędzi długości x\, jest równa iloczynowi miary głównej pojedynczego k-wymiarowego sympleksu foremnego o długości krawędzi, która także wynosi x, czyli X_k\, oraz liczby wszystkich takich k-wymiarowych sympleksów foremnych w danym n-wymiarowym sympleksie foremnym N(n, k)\,:

X_{kn}=N(n, k) \cdot X_k={n+1 \choose k+1} \frac {x^k}{k!} \sqrt \frac {k+1}{2^k}

Nietrudno policzyć, że dowolna k-wymiarowa miara całkowita sympleksu foremnego o nieskończonej liczbie wymiarów dąży do:

\lim_{n \to \infty} X_{kn}=\lim_{n \to \infty} {n+1 \choose k+1} \frac {x^k}{k!} \sqrt \frac {k+1}{2^k} \to \infty

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Jerzy Mioduszewski: Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych. Katowice: Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, 1994. ISSN 0239-6432.