Systemy pozycyjne

Systemy pozycyjne – metody zapisywania liczb (in. systemy liczbowe) w taki sposób, że w zależności od pozycji danej cyfry w ciągu, oznacza ona wielokrotność potęgi pewnej liczby uznawanej za bazę danego systemu. Np. powszechnie używa się systemu dziesiętnego, w którym za bazę przyjmuje się liczbę dziesięć. Tym samym napis 46532 oznacza: $4 \times 10^4 + 6 \times 10^3 + 5 \times 10^2 + 3 \times 10^1 + 2 \times 10^0 = 46532$

System pozycyjny umożliwia też zapisywanie ułamków, przy czym liczby wymierne składają się albo ze skończonej liczby znaków, albo są od pewnego miejsca okresowe. Np 3,1415 rozumiemy jako:

$3 \times 10^0 + 1 \times 10^{-1} + 4 \times 10^{-2} + 1 \times 10^{-3} + 5 \times 10^{-4}$

A $\frac {1}{3} = 0,333\ldots = 3\times 10^{-1} + 3\times 10^{-2} + 3\times 10^{-3} + \ldots$

Obok dziesiętnego systemu liczbowego, używanego w codziennym życiu warto wymienić też:

• Dwójkowy system liczbowy – używany przez komputery, odpowiada jednemu bitowi informacji
• Ósemkowy system liczbowy
• Dwunastkowy system liczbowy – stosowany m.in. przez Celtów, a także przypisany fikcyjnym elfom w Śródziemiu
• Szesnastkowy system liczbowy – używany w informatyce gdyż jednej cyfrze odpowiadają 4 bity, a bajtowi informacji odpowiadają dwie cyfry szesnastkowe ; dodatkowe cyfry oznacza się jako A, B, C, D, E, F (odpowiednio: 10, 11, 12, 13, 14, 15)
• Sześćdziesiątkowy system liczbowy – stosowany w starożytności przez cywilizację doliny Tygrysu i Eufratu, a także – z czego nie zdajemy sobie sprawy – przez nas, kiedy mierzymy czas (1 godzina = 60 minut = 60 * 60 sekund = 60 * 60 * 60 tercji) oraz kąty.

Warto też wymienić systemy pozycyjne, które jako bazę przyjmują liczby ujemne. Umożliwiają one zapisanie liczb ujemnych bez używania znaku "-". Np. jako bazę można przyjąć liczbę -2.

Można też wprowadzić jeszcze jedną modyfikację tradycyjnego systemu pozycyjnego i wprowadzić cyfry o wartości ujemnej. Np. zestaw cyfr -1,0,+1 (z bazą 3).

Zestawienie kilku systemów:

O bazie równej 3 i cyfrach 0,1,A(czyli -1)	Dwójkowy system liczbowy	O bazie ujemnej -4	Szesnastkowy system liczbowy	Dziesiętny system liczbowy
A11A	-10000	1300	-10	-16
A110	-1111	1301	-F	-15
A111	-1110	1302	-E	-14
AAA	-1101	1303	-D	-13
AA0	-1100	30	-C	-12
AA1	-1011	31	-B	-11
A0A	-1010	32	-A	-10
A00	-1001	33	-9	-9
A01	-1000	20	-8	-8
A1A	-111	21	-7	-7
A10	-110	22	-6	-6
A11	-101	23	-5	-5
AA	-100	10	-4	-4
A0	-11	11	-3	-3
A1	-10	12	-2	-2
A	-1	13	-1	-1
0	0	0	0	0
1	1	1	1	1
1A	10	2	2	2
10	11	3	3	3
11	100	130	4	4
1AA	101	131	5	5
1A0	110	132	6	6
1A1	111	133	7	7
10A	1000	120	8	8
100	1001	121	9	9
101	1010	122	A	10
11A	1011	123	B	11
110	1100	110	C	12
111	1101	111	D	13
1AAA	1110	112	E	14
1AA0	1111	113	F	15
1AA1	10000	100	10	16

Obok opisanych powyżej potęgowych systemów pozycyjnych istnieje cały szereg systemów pozycyjnych o innej konstrukcji. Są to np.:

• silniowy system pozycyjny
• system resztowy

Zobacz też

• system liczbowy