Szczególna teoria względności

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ogólna teoria względności
G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,
Równanie Einsteina
Wstęp
Aparat matematyczny

Szczególna teoria względności (STW) – teoria fizyczna stworzona przez Alberta Einsteina w 1905 roku. Zmieniła ona sposób pojmowania czasu i przestrzeni opisane wcześniej w newtonowskiej mechanice klasycznej. Teoria pozwoliła usunąć trudności interpretacyjne i sprzeczności pojawiające się na styku mechaniki (zwanej obecnie klasyczną) i elektromagnetyzmu po ogłoszeniu przez Jamesa Clerka Maxwella teorii elektromagnetyzmu.

W 1916 roku Albert Einstein opublikował ogólną teorię względności będącą rozszerzeniem STW o opis zjawisk zachodzących w obecności pola grawitacyjnego.

Przesłanki powstania teorii[edytuj | edytuj kod]

Hipotetyczny wiatr eteru powodowany przez ruch Ziemi, Układu Słonecznego i całej Drogi Mlecznej względem eteru

Zjawisko ruchu ciał było analizowane już przez starożytnych greckich filozofów. Arystoteles uznał, że wszystkie przedmioty dążą do osiągnięcia stanu spoczynku względem jednego absolutnego układu odniesienia, co było zgodne z codziennym doświadczeniem, gdy wszelki ruch jest hamowany siłami oporu i tarcia.

Poglądy starożytnych podważył Galileusz, który badając ruch różnych przedmiotów doszedł do wniosku, że prędkość i pozycja ciała są względne. Z każdym przedmiotem poruszającym się ruchem jednostajnym można powiązać inercjalny układ odniesienia. Obserwator nieruchomy względem takiego układu odnosi wrażenie, że on jest w spoczynku, podczas kiedy całe otoczenie porusza się ruchem jednostajnym, a jednocześnie osoba nieruchoma względem innego układu (np. stojąca na ziemi) dojdzie do zupełnie przeciwnych wniosków. Matematycznym zapisem względności położenia i prędkości jest transformacja Galileusza, która stała się fundamentem fizyki Newtona.

Jednak pod koniec XIX wieku nowe badania ujawniły niedoskonałość mechaniki klasycznej. Transformacja Galileusza zawodziła w przypadku równań Maxwella opisujących fale elektromagnetyczne. Co więcej, zgodnie z obliczeniami opartymi na mechanice Newtona, prędkość światła powinna zależeć od ruchu obserwatora względem hipotetycznego eteru, w którym miały rozchodzić się fale elektromagnetyczne. Aby wykryć "wiatr eteru" wykonano doświadczenie Michelsona-Morleya, które dało wynik negatywny. Okazało się, że wbrew przewidywaniom fizyki klasycznej, światło biegnie z taką samą prędkością, niezależnie od układu odniesienia. Aby zracjonalizować ten rezultat pomiaru, Lorentz zaproponował, że elementy przyrządów pomiarowych na skutek ruchu kurczą się w kierunku przemieszczania się Ziemi, co prowadzi do uzyskania zawsze tej samej wartości prędkości światła. Matematycznym opisem tej hipotezy stała się transformacja Lorentza.

Początkowo wielu fizyków uważało, że takie niewielkie rozbieżności wyników pomiarów z przewidywaniami mechaniki dadzą się wyeliminować dzięki np. lepszym pomiarom. Niewiele osób sądziło, że nowo odkryte braki teorii klasycznej mogą prowadzić do sformułowania nowych, bardziej fundamentalnych praw natury. Dla Einsteina nieścisłości w fizyce klasycznej stały się powodem do stworzenia nowej teorii.

Postulaty szczególnej teorii względności[edytuj | edytuj kod]

Albert Einstein oparł swe rozumowanie na dwóch postulatach:

  1. Zasadzie względności
    Zasada głosząca, że prawa fizyki są jednakowe we wszystkich układach inercjalnych — musi obowiązywać dla wszystkich praw zarówno mechaniki jak i elektrodynamiki.
  2. Niezmienność prędkości światła
    Prędkość światła w próżni jest taka sama dla wszystkich obserwatorów, taka sama we wszystkich kierunkach i nie zależy od prędkości źródła światła.

Z połączenia postulatów 1 i 2 wynika, że światło nie potrzebuje jakiegokolwiek ośrodka (eteru) do rozchodzenia się.

Alternatywna forma założeń Szczególnej Teorii Względności, interesująca szczególnie z teoretycznego punktu widzenia, jest oparta na następujących, prostszych założeniach:

  • Zasada względności Galileusza: "Wszystkie układy odniesienia poruszające się względem siebie ze stałą prędkością są równoważne."
  • założenie, że transformacja pomiędzy tak określonymi układami jest transformacją afiniczną (liniową);

Powyższe założenia pozwalają wyprowadzić ogólną postać transformacji pomiędzy układami inercjalnymi, która okazuje się mieć matematyczną postać transformacji Lorentza. Zawiera ona w szczególności jeden parametr, stałą o wymiarze odwrotności prędkości, którą należy interpretować jako odwrotność prędkości granicznej: maksymalnej prędkości z jaką mogą poruszać się obserwatorzy, stałej we wszystkich inercjalnych układach odniesienia. Hipotetyczna zerowa wartość odwrotności tej prędkości oznaczałaby nieskończoną prędkość graniczną (brak prędkości granicznej) i transformacja byłaby tożsama z transformacją Galileusza. Jeśli dodatkowo skorzystamy z równań Maxwella, okaże się, że warunek zgodności z tymi równaniami prowadzi do wniosku, że musi być ona równa prędkości światła w próżni.

Popularne ujęcie najważniejszych wniosków[edytuj | edytuj kod]

Einstein stwierdził, że wszystkie konsekwencje szczególnej teorii względności mogą być znalezione, gdy zastosuje się transformację Lorentza.

Przekształcenia wynikające z transformacji Lorentza, a więc i szczególnej teorii względności, prowadzą do różnych fizycznych wniosków w porównaniu do mechaniki Newtona przy względnych prędkościach porównywalnych do prędkości światła. Prędkość światła jest nieporównywalnie większa, niż prędkości, z którymi ludzie się spotkają na co dzień, dlatego też niektóre wnioski szczególnej teorii względności są początkowo sprzeczne z intuicją:

  • Dylatacja czasu — czas, jaki mija pomiędzy dwoma zdarzeniami, nie jest jednoznacznie określony, lecz zależy od obserwatora. Skutkiem interpretacji zjawiska w kontekście zawracającego układu inercjalnego jest Paradoks bliźniąt, jakkolwiek bardziej poprawnie tłumaczy to teoria ogólna. Czas trwania zjawiska, zachodzącego w punkcie przestrzeni, obserwowany z punktów poruszających się względem tego punktu, jest dłuższy niż czas trwania tego zjawiska w układzie odniesienia, w którym punkt ten spoczywa.
  • Względność jednoczesności — dwa zdarzenia określone przez jednego obserwatora jako jednoczesne, mogą nie być jednoczesne dla innego obserwatora.
  • Kontrakcja przestrzeni — odległości między punktami zależą od układu. Wszystkie poruszające się przedmioty obserwujemy jako krótsze. Zjawisko prowadzi do paradoksu drabiny o długości większej niż długość stodoły, która zmieści się w niej w całości, jeżeli będzie poruszała się odpowiednio szybko. Nie zmieściłaby się, gdyby okazało się, że kontrakcja i dylatacja nie są równoczesne. Taka niepoprawna konkluzja mogłaby pojawić się wskutek porównywania zdarzeń na diagramie czasoprzestrznnym w obszarach nie związanych przyczynowo.
  • Wartości innych wielkości fizycznych, takich jak siła, pęd, przyspieszenie, natężenie pola elektrycznego, zależą od obserwatora.
  • Nowa reguła składania prędkości — prędkości nie sumują się. Przykładowo: jeżeli rakieta oddala się z prędkością 2/3 prędkości światła w stosunku do obserwatora i rakieta wysyła pocisk z prędkością 2/3 prędkości światła w stosunku do rakiety, obserwator nie zanotuje prędkości (2/3 + 2/3 = 4/3 prędkości światła) przewyższającej prędkość światła. W tym przykładzie, obserwator widziałby pocisk poruszający się z szybkością 12/13 prędkości światła. Podobnie, przy dwóch strumieniach cząstek poruszających się z prędkością bliską prędkości światła – jedne emitowane na lewo od źródła, drugie na prawo – z perspektywy jednych cząstek drugie nie będą uciekały szybciej niż światło.
  • Masa jest równoważna energii, a związek między tymi wielkościami opisuje wzór  E = m c^2. Zwiększenie energii układu zwiększa jego masę, zmniejszenie energii powoduje zmniejszenie masy. I odwrotnie ubytek masy oznacza ubytek energii układu (por. deficyt masy).
  • Relatywistyczne skrócenie długości — wraz ze wzrostem prędkości następuje skrócenie obiektu zgodnie z kierunkiem, w którym obiekt się przemieszcza. Relatywistyczne skrócenie obiektu zawsze wyniesie tyle samo procent dla danej prędkości.

Podstawowe założenia[edytuj | edytuj kod]

W STW do opisu zjawisk fizycznych stosowana jest czterowymiarowa czasoprzestrzeń, w której chwilowe położenia ciała próbnego są nazywane zdarzeniami. Zmiany położenia obiektu układają się w linię ciągłą, nazywaną linią świata (np. piłki). Ciało takie może posiadać parametry fizyczne, jak energię, pęd, masę, ładunek itp., które nie są bezpośrednio uwzględniane w takim opisie.

Rozróżnia się dwa rodzaje układów odniesienia - inercjalny, w którym nie rejestruje się efektów bezwładnościowych związanych z działaniem na układ jakichkolwiek przyspieszeń zewnętrznych, poruszający się względem początku układu współrzędnych ze stałą prędkością oraz - nieinercjalny poruszający się z przyspieszeniem.

Czasoprzestrzeń jest czterowymiarowa, zatem współrzędne zdarzenia określone są przez czwórkę liczb. W takim układzie odniesienia jedna z osi odpowiada czasowi, pozostałe współrzędnym przestrzennym. W użyciu jest kilka wersji takiego opisu. A. Einstein używał tradycyjnej konwencji układu współrzędnych (x,y,z) oraz czasu t, Minkowski wprowadził czasoprzestrzeń z czasem zespolonym (x1, x2, x3, x4) gdzie x_4 = \sqrt {-1} ct = ict, zaś obecnie często używa się konwencji (x0, x1, x2, x3), gdzie x0 = ct lub (x1, x2, x3, x4) oraz x4 = ct.

Dopuszczalne jest stosowanie układu SI i wtedy czas jest mierzony w sekundach, a położenie w metrach, ale również uproszczenia wzorów, w których prędkość światła jest wielkością bezwymiarową i równą 1.

Zakłada się, że dla dwóch inercjalnych układów odniesienia (obserwatorów) istnieją transformacje współrzędnych i czasu, które przekształcają współrzędne jednego układu odniesienia na drugi. Transformacje ta określają także wielkość zmian innych parametrów fizycznych, jak pędu i energii (p1, p2, p3, E).

Zakłada się również, że każde prawo fizyczne może być sformułowane w odniesieniu do współrzędnych określonych w inercjalnym układzie odniesienia jako układ równań, których postać pozostaje niezmienna po dokonaniu zmiany układu odniesienia, tzn. jest to równanie tego samego typu ze zmienionymi współczynnikami liczbowymi. Przykładem takich praw są równania Maxwella.

Kinematyka[edytuj | edytuj kod]

Stożek światła
Fragment pierwodruku O elektrodynamice ciał w ruchu A. Einsteina

Przyjmuje się dwa postulaty (częściowo wspomniane już wcześniej), teraz wyrażone w języku STW

  1. Liniami świata punktu materialnego, na który nie działa żadna siła, jest linia prosta w czasoprzestrzeni.
  2. Liniami świata światła są linie proste. Linie te są nachylone zawsze pod takim samym kątem do osi czasu, w każdym układzie odniesienia.

Postulat pierwszy odpowiada pierwszej zasadzie dynamiki Newtona z mechaniki klasycznej. Drugi jest wyrażeniem w języku geometrii postulatu o stałej prędkości światła dla każdego obserwatora. Oba postulaty wynikają z doświadczenia.

Wszystkie linie świata światła wysłanego z jednego punktu w jednej chwili spełniają równanie, które odpowiada równaniu powierzchni stożka, którego osią jest oś czasu, ale w przestrzeni czterowymiarowej, powierzchnie te nazywamy stożkiem świetlnym światła wychodzącego. Podobnie wszystkie promienie świetlne docierające do punktu w jednej chwili tworzą powierzchnię stożka, a powierzchnia ta jest nazywana stożkiem świetlnym światła przychodzącego.

By umożliwić przedstawienie graficzne czasoprzestrzeni pomija się na rysunkach jej jeden wymiar przestrzenny, a oś odpowiadającą czasowi skaluje się odpowiednio do rysunku, zazwyczaj w jednostkach c\cdot t (rysunek stożka świetlnego).

Przy wyżej opisanych założeniach (relatywność praw i niezmienność prędkości światła) okazuje się, że różni obserwatorzy obserwują, to samo zdarzenie w różnych momentach czasowych i w różnych punktach przestrzennych. Zasady przeliczania (transformacji) współrzędnych obserwatorów poruszających się wzdłuż osi x określa transformacja Lorentza:

t \rightarrow t'=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\left(t-\frac{v}{c^2}x\right),
x \rightarrow x'=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}(x-v t).

Z wzorów tych wynika, że dla obserwatora będącego w ruchu czas płynie wolniej, a odległość zmniejsza się (szczegóły w artykule o transformacji Lorentza). Wolniejszy upływ czasu u obserwatora poruszającego się nazywany jest dylatacją czasu, a zmniejszanie przestrzeni kontrakcją przestrzeni.

Transformacja Lorentza nie zmienia wartości (jest ona jednakowa dla wszystkich obserwatorów):

c^2 t^2 -x^2-y^2-z^2 = \textrm{const}\,

lub

(x^0)^2 -(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2 = \textrm{const}\,

Wielkość ta (symbol ze wzoru) jest nazywana interwałem czasoprzestrzennym.

Przestrzeń z tak określonym niezmiennikiem nazywana jest przestrzenią Minkowskiego i odpowiada on odległości w przestrzeni zwykłej (przestrzeń Euklidesa). O ile odległość różnych punktów jest liczbą większą od zera, to w czasoprzestrzeni interwał czasoprzestrzenny może być dowolną liczbą (ujemną, zero lub dodatnią), używa się następujące określenia:

  1. Jeżeli interwał jest większy od zera to mówi się, że punkty (zdarzenia) są położone czasowo. Na rysunku stożków świetlnych punkt B jest położony czasowo względem punktu A. Każdy punkt w stożku świetlnym danego punktu jest położony względem niego czasowo. Przy czym obszar "górnego" stożka to absolutna przyszłość, "dolnego" to absolutna przeszłość.
  2. Jeżeli interwał jest mniejszy od zera - przestrzennie. Na rysunku - punkt C jest położony przestrzennie względem punktu A. Każdy punkt czasoprzestrzeni położony poza stożkami świetlnymi ma położenie przestrzenne. Dla punktów położonych przestrzennie można znaleźć układ odniesienia w którym oba zdarzenia występują jednocześnie, w innych może być wcześniej lub później dlatego cały obszar poza stożkami świetlnymi nazywa względną teraźniejszością.
  3. Jeżeli interwał jest równy zero - zerowo. Każdy punkt leżący na powierzchni stożka świetlnego ma położenie zerowe.

Podział ten ma ważny sens fizyczny:

  1. zdarzenia położone czasowo można osiągnąć przez wysłanie lub odebranie cząstki obdarzonej masą,
  2. zdarzenia położone przestrzennie są nieosiągalne,
  3. zdarzenia o interwale zerowym można osiągnąć wysyłając lub odbierając sygnał świetlny.

Zdarzenia położone czasowo lub zerowo na "dolnym" stożku świetlnym mogą wpływać (mogą być przyczyną) rozpatrywanego zdarzenia, położone na stożku "górnym" mogą wynikać z rozpatrywanego zdarzenia (być skutkiem), a położone przestrzennie nie mogą mieć związku.

Bardzo ważnym wnioskiem wypływającym z tych rozważań jest ograniczenie szybkości oddziaływań fizycznych. Żadne zjawisko swoimi skutkami nie może wybiegać poza stożek świetlny, bo złamałoby zasadę przyczynowości i potrafilibyśmy przesłać sygnał do zdarzeń które już były (w innym układzie odniesienia). Dla przykładu jeżeli w punkcie A wybuchnie supernowa, to obserwator w punkcie B ją dostrzeże, ale ten w punkcie C już nie będzie widział eksplozji. Zjawisko to jest podobne do sytuacji człowieka stojącego na powierzchni ziemi. Nie widzi on niczego, co dzieje się poza horyzontem, mimo że coś tam się znajduje. Powierzchnia stożka światła, odpowiada właśnie linii tego horyzontu w czasoprzestrzeni. Podobnie jak obserwator na ziemi ten w punkcie C, może się przemieścić. Co więcej jedna z osi czasoprzestrzennego układu współrzędnych, to czas. Obserwator w punkcie C porusza się stale zgodnie ze zwrotem tej osi, nawet jeżeli stoi w miejscu w zwykłej przestrzeni. Wniosek ten jest zgodny z codziennym doświadczeniem. Astronomowie nie mogą obserwować odległych gwiazd w ich dzisiejszym stanie. Często widzą ich światło wyemitowane nim praludzie pierwszy raz spojrzeli w gwiazdy.

Składanie prędkości[edytuj | edytuj kod]

Transformacja Lorentza prowadzi do odpowiednich praw składania prędkości (innych niż dla transformacji Galileusza). Definiując

u=\frac{dx}{dt}    i    u'=\frac{dx'}{dt'}

Jeżeli obserwator S, widzi ciało poruszające się wzdłuż osi x, zgodnie z jej zwrotem, z prędkością u , obserwator S' porusza się względem niego z prędkością v w tym samym kierunku x, to prędkość u' tego ciała określona przez obserwatora S' wyniesie:

u'=\frac{u-v}{(1-\frac{v u}{c^2})}

Prędkość tę dla obserwatora S można wyrazić wzorem

u=\frac{u'+ v}{(1 + \frac{v {u'}}{c^2})}

Z tego prawa dodawania prędkości wynika, że gdy w jednym układzie ciało porusza się z prędkością u = c, to w drugim układzie poruszającym się z prędkością v ciało nadal poruszać się będzie z prędkością c.

Dylatacji czasu zawsze towarzyszy kontrakcja przestrzeni.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Z Ziemi wysyłana jest duża stacja badawcza do badania kosmosu i osiąga ona prędkość v = 0,75c względem Ziemi, ze stacji tej wysyłana jest sonda badawcza i porusza się ona w tym samym kierunku z prędkością u = 0,75c (względem stacji badawczej).

Prędkość sondy względem Ziemi obliczona według mechaniki klasycznej (transformacji Galileusza) będzie miała wartość

 \ 0{,}75\,c + 0{,}75\,c = 1{,}5\,c

Prędkość sondy przekraczałaby prędkość światła, zatem obliczenie jest błędne.

Prawidłowe obliczenie, zgodne ze STW.

Niech układ primowany oznacza układ odniesienia związany z Ziemią a układ nieprimowany niech będzie związany ze stacją badawczą. Wówczas wzór na sumowanie prędkości będzie miał postać

u'=\frac{u+v}{(1+\frac{v u}{c^2})}

a po podstawieniu wartości liczbowych

u'=\frac{0{,}75\,c+0{,}75\,c}{(1+\frac{(0{,}75\,c)^2}{c^2})}=0{,}96\,c

Prędkość ta jest mniejsza od prędkości światła. Złożenie dwóch dowolnych prędkości mniejszych od prędkości światła da zawsze prędkość mniejszą od prędkości światła.

Tożsamość masy i energii[edytuj | edytuj kod]

Prawdopodobnie najsłynniejszą implikacją szczególnej teorii względności jest wniosek, że energia i masa, które wcześniej uważano za całkowicie odseparowane od siebie wielkości, są w pewnym sensie tożsame, gdyż można je przekształcać jedne w drugie zgodnie ze słynnym równaniem:

\ E = m_{0}c^2

gdzie E jest energią ciała w spoczynku, m_{0} jest jego masą spoczynkową, a c to prędkość światła w próżni. Jeśli ciało porusza się z prędkością v w stosunku do obserwatora to całkowita jego energia wynosi:

\ E = m(v) c^2 = m_{0}\gamma c^2 ,

gdzie

 \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac {v^2}{c^2}}}.

zwany jest czynnikiem Lorentza (czynnik \gamma pojawia się często w teorii względności i pochodzi jeszcze z teorii eteru Lorentza), zaś m(v)=γm jest masą relatywistyczną. Gdy v jest dużo mniejsze od c równanie można uprościć do:

E \approx m c^2 + \frac{1}{2}m v^2

i przyjmując, że pierwszy człon (mc2), odpowiada energii wewnętrznej ciała, dochodzi się do "zwykłego" równania na całkowitą energię ciała w ruchu. Drugi człon jest równy, "normalnej" energii kinetycznej wynikającej z newtonowskiej mechaniki klasycznej. Przejście to wynika z rozwinięcia czynnika \gamma w szereg Maclaurina w otoczeniu punktu v = 0.

Ograniczenie prędkości[edytuj | edytuj kod]

Przy bardzo dużej prędkości, zbliżonej do c, mianownik wyrażenia na γ zaczyna dążyć do 0, a sama wartość γ dąży do nieskończoności. Wynika z tego, że przy prędkości światła energia ciała posiadającego niezerową masę powinna być nieskończona, czyli praktycznie nie istnieje możliwość rozpędzenia go do tej prędkości. Oznacza to, że żadna cząstka nie może zostać rozpędzona do prędkości światła w próżni, a tym bardziej przekroczyć jej. Prędkość tę mogą osiągnąć tylko cząstki, które nie mają masy, takie jak fotony.

Tachiony to hipotetyczne cząstki, które mogłyby się poruszać z prędkością większą od światła, ale jak dotąd, nie zaobserwowano żadnych zjawisk świadczących o ich istnieniu, choć istnieją teorie postulujące ich istnienie.

Od czasu do czasu pojawiają się doniesienia o przekroczeniu prędkości światła przez różne obiekty. Ostatnio miało to miejsce 23 września 2011 roku (eksperyment OPERA). Jak dotąd żadne z tych doniesień nie zostało potwierdzone.

Kolejność zdarzeń zależy od układu odniesienia[edytuj | edytuj kod]

W teorii względności istnieją pojęcia "ścieżki czasowej" i "ścieżki przestrzennej" w czasoprzestrzeni. Gdy jakiś obiekt porusza się ze stałą prędkością razem z obserwatorem, to wówczas obserwator w swoim układzie odniesienia odczuwa tylko upływ czasu, a nie ma możności zaobserwowania ruchu obiektu. Trasa, jaką pokonuje taki obiekt, definiuje pojęcie "ścieżki czasowej". Można też sobie wyobrazić trasę w czasoprzestrzeni, wzdłuż której obserwator nie odczuwa upływu czasu, a jedynie przemieszczanie się w przestrzeni. To właśnie jest ścieżka przestrzenna. Biorąc pod uwagę, że maksymalna prędkość, jaką można osiągnąć, to prędkość światła, można łatwo dowieść, że każdy prosty odcinek między takimi dwoma punktami w czasoprzestrzeni, którego nie można przebyć w skończonym czasie, jest ścieżką przestrzenną. Obiekty połączone taką ścieżką nie mogą na siebie w żaden sposób oddziaływać fizycznie ani siebie wzajemnie obserwować.

Jeżeli dwaj obserwatorzy O1 i O2 znajdują się w dwóch różnych układach odniesienia, między którymi istnieje ścieżka czasowa, i obserwują oni dwa różne zdarzenia A i B, między którymi istnieje tylko ścieżka przestrzenna, wówczas, stosując szczególną teorię względności, można dowieść, że dla obu obserwatorów zdarzenia A i B mogą następować w różnej kolejności czasowej! Obserwator O1 może widzieć zdarzenie A jako pierwsze, zaś obserwator O2 może widzieć zdarzenie B jako pierwsze.

Wynika stąd, że również pojęcie równoczesności jest względne. Jeżeli jakieś dwa zdarzenia są równoczesne dla jednego obserwatora, wcale nie muszą być takie dla innego obserwatora.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]