Szereg Grandiego

Szereg Grandiego – w matematyce to szereg nieskończony 1 − 1 + 1 − 1 + … zapisywany również jako

$\sum_{n=0}^{\infin} (-1)^n$

Nazwa szeregu pochodzi od Guido Grandi, który „upamiętnił” swoje przemyślenia na ten temat w 1703 roku. Jest to szereg rozbieżny, to znaczy, że jego suma nie istnieje według definicji. Z drugiej strony sumowanie metodą Cesàro daje wynik 1/2.

Heurystyka

Aby znaleźć sumę szeregu

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + …

Grandi próbował grupować sąsiednie wyrazy szeregu, aby znaleźć rozwiązania cząstkowe

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

Z drugiej strony, podobna procedura rozmieszczania nawiasów prowadzi do zupełnie innego wyniku:

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1.

Stąd wynika, że w zależności od umieszczenia nawiasów w szeregu, ostateczny wynik może przyjąć jedną z dwóch „wartości”: 0 lub 1.

Stosując przekształcenie podobne do tych, jakie są stosowane dla zbieżnych szeregów geometrycznych, można uzyskać trzecią wartość:

S = 1 − 1 + 1 − 1 + …, czyli

1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + …) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = S,

która w wyniku daje S = 1/2. Do tego samego wyniku można dojść obliczając −S, odejmując wynik od S i rozwiązując 2S = 1.

Powyższe przekształcenie nie rozważa, co taka suma właściwie oznacza. Na podstawie wszystkich powyższych metod można wyciągnąć dwa następujące wnioski:

• Szereg 1 − 1 + 1 − 1 + … nie ma sumy
• ... ale jego suma „powinna” wynosić 1/2.

W rzeczywistości oba te twierdzenia można dokładnie i formalnie udowodnić, ale tylko dzięki dobrze zdefiniowanym matematycznym koncepcjom, które powstały w XIX wieku. Zanim to nastąpiło, odpowiedzi na te pytania były „nie kończącymi się” i „gwałtownymi” dyskusjami między matematykami.

Zobacz też

• 1 + 1 + 1 + 1 + …

Bibliografia

• Harry F. Davis: Fourier Series and Orthogonal Functions. Dover, maj 1989. ISBN 0-486-65973-9. (ang.)
• Keith Devlin: Mathematics, the science of patterns: the search for order in life, mind, and the universe. Scientific American Library, 1994. ISBN 0-7167-6022-3.
• Morris Kline. Euler and Infinite Series. „Mathematics Magazine”. 56 (5), s. 307–314, Listopad 1983. doi:10.2307/2690371. JSTOR 2690371. 
• Konrad Knopp: Theory and Application of Infinite Series. Dover, 1990 [1922]. ISBN 0-486-66165-2.