Szereg funkcyjny

Szereg funkcyjny – szereg, którego wyrazami są funkcje o wspólnej dziedzinie. Dla każdego punktu dziedziny suma szeregu wartości funkcji w tym punkcie (o ile istnieje) jest sumą zwykłego szeregu liczbowego. W zastosowaniach najczęściej pojawiają się szeregi funkcyjne zmiennej rzeczywistej lub zespolonej o wartościach rzeczywistych lub zespolonych, jednakże pojęcie szeregu funkcyjnego ma sens także w przypadku funkcji o wartościach w ogólnych przestrzeniach funkcyjnych (np. przestrzeniach Banacha).

Szeregi funkcyjne pojawiają się w naturalny sposób w analizie matematycznej i fizyce. Na przykład:

• szeregi Fouriera są narzędziem w badaniu możliwości przedstawienia skomplikowanej funkcji (zwykle funkcji okresowej - w fizyce i technice - ruchu drgającego) przy pomocy szeregu prostszych funkcji okresowych typu sinus i cosinus - tzw. harmonik. Zob. analiza harmoniczna.
• szeregi Taylora służą do przedstawiania funkcji stosunkowo skomplikowanych przy pomocy szeregów o wyrazach będących wielomianami (czyli o dużo prostszej naturze) zależnych od kolejnych pochodnych. Zob. wzór Taylora, analiza numeryczna.
• szeregi Laurenta są narzędziem podobnym do szeregów Taylora, służącym do rozwijania funkcji zmiennej zespolonej w szeregi potęgowe o wykładnikach całkowitych. Rozkład funkcji w szereg Laurenta niesie dodatkowe informacje o regularności samej funkcji. Zob. analiza zespolona.

Podstawowym przykładem szeregu funkcyjnego jest tzw. szereg geometryczny, czyli szereg postaci

$\sum_{n = 0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots$

Jest on zbieżny dla każdego -1<x<1 do (sumy):

$\frac{1}{1 - x}.$

Jeżeli przyjąć $f_n(x) = x^n$ dla $x$ jak wyżej, to powyższy szereg można zapisać w postaci

$\sum_{n = 0}^\infty f_n(x),$

który jest już przykładem szeregu funkcyjnego.

Zbieżność

Niech $Y$ będzie przestrzeń unormowaną oraz $(f_n)$ będzie ciągiem funkcji określonych na pewnym zbiorze $X$ i o wartościach w przestrzeni $Y$.

Zbieżność punktowa

Mówi się, że szereg $\sum f_n(x)$ jest zbieżny punktowo w zbiorze $X,$ gdy dla każdego $x_0 \in X$ zbieżny jest szereg $\sum f_n(x_0).$ Innymi słowy wymaga się, by zbieżny był ciąg $(s_N)_{N \in \mathbb N}$ sum częściowych $s_N = f_1(x_0) + \dots + f_N(x_0).$ Określoną w ten sposób funkcję $f(x) = \sum f_n(x)$ nazywa się sumą szeregu funkcyjnego $\sum f_n(x).$.

Zbieżność jednostajna

Szereg $\sum f_n(x)$ jest zbieżny jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg $(s_N)_{N \in \mathbb N}$ sum częściowych $s_N = f_1 + \dots + f_N$ jest zbieżny jednostajnie jako ciąg funkcyjny.

Dokładniej, szereg $\sum f_n(x)$ jest zbieżny jednostajnie w zbiorze $X$ do funkcji $f(x),$ gdy od pewnego wyrazu norma sumy częściowej szeregu $\sum \bigl(f_n(x) - f(x)\bigr)$ jest dowolnie mała dla wszystkich $x \in X,$ tzn. gdy dla dowolnej liczby $\varepsilon > 0$ istnieje taka liczba naturalna $n_\varepsilon,$ że dla wszystkich $k > n_\varepsilon$ i dla wszystkich $x \in X$ zachodzi nierówność

$\left\|\left(\sum_{n=1}^k f_n(x)\right) - f(x)\right\| < \varepsilon.$

Do kryteriów zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych zaliczają się

• kryterium Abela,
• kryterium Dirichleta,
• kryterium Weierstrassa.

Własności sumy szeregu zbieżnego jednostajnie

Niech dany będzie szereg funkcyjny

$\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$

zbieżny jednostajnie w przedziale $(a,b)$ do funkcji $f$. Wówczas:

• jeżeli wszystkie wyrazy ciągu $(f_n)$ są ciągłe, to jego suma $f$ też jest funkcją ciągłą;
• jeżeli $(f_n)$ jest ciągiem funkcji różniczkowalnych mającym w tym przedziale ciągłe pochodne oraz szereg $\sum_{n=1}^\infty f_n^\prime(x)$ jest zbieżny jednostajnie, to funkcja $f$ jest różniczkowalna oraz

$f^\prime(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n^\prime(x)$ dla $a<x<b$.

• jeżeli ponadto wyrazy ciągu $(f_n)$ są funkcjami ciągłymi, określonymi w przedziale $[a,b]$ i szereg $\sum_{n=1}^\infty f_n(x)$ jest zbieżny jednostajnie w tym przedziale, to

$\int_a^b f(x)dx = \int_a^b \sum_{n=1}^\infty f_n(x)dx = \sum_{n=1}^\infty \int_a^b f_n(x)dx.$

Szereg

$1 + x + x^2 + x^3 + \dots$

jest zbieżny punktowo do funkcji $f(x) = \tfrac{1}{1-x}$ w przedziale $(-1, 1),$ jednak nie jest zbieżny jednostajnie; mimo to suma szeregu jest funkcją różniczkowalną (a zatem i ciągłą) w zadanym przedziale.

Bibliografia

• Grigorij M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. czwarte. T. II. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1966, s. 375-377.