Szereg funkcyjny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Szereg funkcyjnyszereg, którego wyrazami są funkcje o wspólnej dziedzinie. Dla każdego punktu dziedziny suma szeregu wartości funkcji w tym punkcie (o ile istnieje) jest sumą zwykłego szeregu liczbowego. W zastosowaniach najczęściej pojawiają się szeregi funkcyjne zmiennej rzeczywistej lub zespolonej o wartościach rzeczywistych lub zespolonych, jednakże pojęcie szeregu funkcyjnego ma sens także w przypadku funkcji o wartościach w ogólnych przestrzeniach funkcyjnych (np. przestrzeniach Banacha).

Szeregi funkcyjne pojawiają się w naturalny sposób w analizie matematycznej i fizyce. Na przykład:

Podstawowym przykładem szeregu funkcyjnego jest tzw. szereg geometryczny, czyli szereg postaci

\sum_{n = 0}^\infty x^n = 1 + x + x^2 + x^3 + \dots

Jest on zbieżny dla każdego -1<x<1 do (sumy):

\frac{1}{1 - x}.

Jeżeli przyjąć f_n(x) = x^n dla x jak wyżej, to powyższy szereg można zapisać w postaci

\sum_{n = 0}^\infty f_n(x),

który jest już przykładem szeregu funkcyjnego.

Zbieżność[edytuj | edytuj kod]

Niech Y będzie przestrzeń unormowaną oraz (f_n) będzie ciągiem funkcji określonych na pewnym zbiorze X i o wartościach w przestrzeni Y.

Zbieżność punktowa[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: zbieżność punktowa.

Mówi się, że szereg \sum f_n(x) jest zbieżny punktowo w zbiorze X, gdy dla każdego x_0 \in X zbieżny jest szereg \sum f_n(x_0). Innymi słowy wymaga się, by zbieżny był ciąg (s_N)_{N \in \mathbb N} sum częściowych s_N = f_1(x_0) + \dots + f_N(x_0). Określoną w ten sposób funkcję f(x) = \sum f_n(x) nazywa się sumą szeregu funkcyjnego \sum f_n(x)..

Zbieżność jednostajna[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: zbieżność jednostajna.

Szereg \sum f_n(x) jest zbieżny jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg (s_N)_{N \in \mathbb N} sum częściowych s_N = f_1 + \dots + f_N jest zbieżny jednostajnie jako ciąg funkcyjny.

Dokładniej, szereg \sum f_n(x) jest zbieżny jednostajnie w zbiorze X do funkcji f(x), gdy od pewnego wyrazu norma sumy częściowej szeregu \sum \bigl(f_n(x) - f(x)\bigr) jest dowolnie mała dla wszystkich x \in X, tzn. gdy dla dowolnej liczby \varepsilon > 0 istnieje taka liczba naturalna n_\varepsilon, że dla wszystkich k > n_\varepsilon i dla wszystkich x \in X zachodzi nierówność

\left\|\left(\sum_{n=1}^k f_n(x)\right) - f(x)\right\| < \varepsilon.

Do kryteriów zbieżności jednostajnej szeregów funkcyjnych zaliczają się

Własności sumy szeregu zbieżnego jednostajnie - twierdzenie Weierstrassa[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie szereg funkcyjny \textstyle \sum_{n=1}^\infty f_n(x) zbieżny jednostajnie w przedziale (a, b) do funkcji f. Wówczas:

  • jeżeli wszystkie wyrazy ciągu (fn) są ciągłe, to jego suma f też jest funkcją ciągłą;
  • jeżeli (fn) jest ciągiem funkcji różniczkowalnych mającym w tym przedziale ciągłe pochodne oraz szereg \textstyle \sum_{n=1}^\infty f_n^\prime(x) jest zbieżny jednostajnie, to funkcja f jest różniczkowalna oraz
f^\prime(x)=\sum_{n=1}^\infty f_n^\prime(x)
dla x ∈ (a, b).
  • jeżeli ponadto wyrazy ciągu (fn) są funkcjami ciągłymi, określonymi w przedziale [a, b] oraz szereg \textstyle \sum_{n=1}^\infty f_n(x) jest zbieżny jednostajnie w tym przedziale, to
\int_a^b f(x)\,\mbox{d}x = \int_a^b \sum_{n=1}^\infty f_n(x)\,\mbox{d}x = \sum_{n=1}^\infty \int_a^b f_n(x)\,\mbox{d}x.
Przykład[edytuj | edytuj kod]

Szereg

1 + x + x^2 + x^3 + \dots

jest zbieżny punktowo do funkcji f(x) = \tfrac{1}{1-x} w przedziale (-1, 1) jednak nie jest zbieżny jednostajnie; mimo to suma szeregu jest funkcją różniczkowalną (a zatem i ciągłą) w zadanym przedziale.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]