Szereg potęgowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Szereg potęgowyszereg funkcyjny postaci:

f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n \left( x-a \right)^n

gdzie stała a zwana środkiem szeregu i współczynniki a_nliczbami rzeczywistymi lub zespolonymi. Zmienna x również może być rzeczywista lub zespolona.

Zbieżność[edytuj | edytuj kod]

Okazuje się, że szereg potęgowy jest bezwzględnie zbieżny dla wszystkich liczb należących do pewnego koła otwartego \{x:|x-a|<r\} o środku w punkcie a i rozbieżny poza jego domknięciem. Koło to nazywamy kołem zbieżności szeregu, a jego promień (promień zbieżności) r określony jest wzorem:

r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}.

Powyższy wzór należy rozumieć następująco:

  • jeśli \limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\infty, to r=0 i szereg jest zbieżny jedynie dla x=a
  • jeśli natomiast \limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}=0, to r=\infty i szereg jest zbieżny dla wszystkich x.

Inny wzór na promień zbieżności szeregu:

r=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left|{a_{n+1} \over a_n}\right|}.

Ostatni wzór jest najwygodniejszy w użyciu, lecz można go stosować jedynie wtedy, gdy występująca tam granica istnieje.

Szereg potęgowy jest jednostajnie zbieżny na dowolnym zwartym podzbiorze koła zbieżności.

Wynika stąd natychmiast, że szereg potęgowy przedstawia funkcję ciągłą wewnątrz koła zbieżności. Dwa szeregi przedstawiają tę samą funkcję wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe wszystkie współczynniki przy tych samych potęgach dwumianu (x – a).

Problem zbieżności szeregu potęgowego na brzegu koła zbieżności jest subtelny i nie daje się rozwiązać w przypadku ogólnym. Hugo Steinhaus podał przykład szeregu, który przedstawia funkcję nieciągłą w zbiorze wszędzie gęstym w brzegu koła.

Działania na szeregach potęgowych[edytuj | edytuj kod]

Niech szeregi

f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n i
g(x)=\sum_{n=0}^\infty b_n (x-a)^n

będą zbieżne w swoich kołach zbieżności.

Dodawanie i odejmowanie[edytuj | edytuj kod]

Przy powyższych oznaczeniach funkcję

u\cdot f(x)+v\cdot g(x) przedstawiał będzie szereg:
f(x)\pm g(x) = \sum_{n=0}^\infty (a_n \pm b_n) (x-a)^n zbieżny w mniejszym z kół zbieżności.

Mnożenie i dzielenie[edytuj | edytuj kod]

Iloczynem Cauchy'ego określonych wyżej szeregów nazywamy szereg

\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}(x-a)^n

Dla argumentów z mniejszego koła zbieżności szereg jest zbieżny bezwzględnie i kolejność sumowania wyrazów nie ma znaczenia, dlatego powyższą sumę można też zapisać jako:

 = \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty  a_i b_j (x-a)^{i+j}.

Zauważmy teraz, że w przypadku dzielenia szeregów (tam gdzie jest ono wykonalne) mamy:

 {f(x)\over g(x)} = {\sum_{n=0}^\infty a_n (x-a)^n\over\sum_{n=0}^\infty b_n (x-a)^n} = \sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n.

Dla wyznaczenia współczynników cn wystarczy napisać

 f(x) = \left(\sum_{n=0}^\infty b_n (x-a)^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty c_n (x-a)^n\right)

skąd przez wymnożenie, porównanie współczynników szeregów po obu stronach i wykorzystanie ich jednoznaczności otrzymamy cn.

Całkowanie i różniczkowanie[edytuj | edytuj kod]

Z własności szeregu potęgowego wynika bezpośrednio (patrz: szereg funkcyjny), że jego suma jest funkcją różniczkowalną i całkowalną w sensie Riemanna we wnętrzu koła zbieżności tego szeregu. Co więcej, zarówno pochodną jak i całkę tej funkcji można otrzymać różniczkując lub całkując szereg wyraz po wyrazie:

\left(\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-a)^n\right)^{\prime} = \sum_{n=1}^\infty a_n n \left( x-a \right)^{n-1}

oraz


\int \sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-a)^n\,dx = \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n \left( x-a \right)^{n+1}} {n+1} + C

Obydwa szeregi po prawej stronie równości są zbieżne w tym samym kole zbieżności co szereg wyjściowy.

Funkcje analityczne[edytuj | edytuj kod]

Z szeregami potęgowymi zmiennej zespolonej ściśle związane są funkcje analityczne. Każda funkcja analityczna daje się lokalnie – czyli w pewnym otoczeniu dowolnego punktu swej dziedziny – przedstawić szeregiem potęgowym i na odwrót, każdy szereg potęgowy jest funkcją analityczną we wnętrzu swego koła zbieżności. Klasa funkcji analitycznych w pewnym obszarze tworzy pierścień, to znaczy suma i iloczyn funkcji analitycznych jest również funkcją analityczną. Iloraz funkcji analitycznych jest funkcją analityczną o ile mianownik nie przyjmuje w danym obszarze wartości zerowych.

Każda zespolona funkcja analityczna jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna w swej dziedzinie, a współczynniki an jej rozwinięcia w szereg w otoczeniu dowolnego punktu z0 są dane wzorem:

a_n = \frac {f^{\left( n \right)}\left( z_0 \right)} {n!}

gdzie f (n)(z0) oznacza n-tą pochodną f w punkcie z0. Oznacza to, że każda funkcja analityczna daje się lokalnie przedstawić swoim szeregiem Taylora.

Powyższe uwagi nie dotyczą funkcji zmiennej rzeczywistej – tutaj funkcja, która jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna może nie dać przedstawić się szeregiem potęgowym.

Zauważmy też, że jeśli dwie funkcje analityczne zmiennej zespolonej są określone w tym samym obszarze, a ich wszystkie pochodne są równe w pewnym punkcie tego obszaru, to obie funkcje są sobie równe w całym obszarze.

Formalne szeregi potęgowe[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie szeregu potęgowego zostało przeniesione do algebry pod postacią formalnego szeregu potęgowego nad danym ciałem. Ich badanie ma wielkie znaczenie dla kombinatoryki gdzie występują pod postacią funkcji tworzących.

Szereg potęgowy wielu zmiennych[edytuj | edytuj kod]

Kolejnym uogólnieniem teorii szeregów potęgowych jednej zmiennej jest teoria szeregów wielu zmiennych. Szereg potęgowy wielu zmiennych definiujemy następująco:


f(x_1,\dots,x_n) = \sum_{j_1,\dots,j_n = 0}^{\infty}a_{j_1,\dots,j_n} \prod_{k=1}^n \left(x_k - c_k \right)^{j_k},

gdzie j=(j_1,\dots,j_n) jest układem liczb naturalnych, współczynniki a_{(j_1,\dots,j_n)} są liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi, a c=(c_1,\dots,c_n) oraz x=(x_1,\dots,x_n) są punktami n-wymiarowej rzeczywistej lub zespolonej przestrzeni euklidesowej.