Szybkość ścinania

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Szybkość ścinania (ang. shear rate) – kinematyczny parametr skalarny lub tensorowy stosowany w mechanice płynów, wyrażający granicę stosunku względnej różnicy prędkości między sąsiadującymi ze sobą warstwami płynu do odległości między nimi.

Tensor szybkości ścinania[edytuj | edytuj kod]

W sposób najbardziej precyzyjny szybkość ścinania zdefiniowana jest przez tensor szybkości ścinania oznaczany zwykle przez  \; D_{ik} \; i zdefiniowany w sposób:

 D_{ik}
\; \stackrel{\rm df}{=} \;
\frac{1}{2} \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_k} + \frac{\partial v_k}{\partial x_i} \right)

gdzie \; v_i \; jest wektorem prędkości, a \; x_k \; jest wektorem położenia przestrzennego.

Czasami jako zamiast tensora  \; D_{ik} \; jako miary szybkości ścinania stosuje sie tensor  \; A_{ik} \,:

 A_{ik}
\; \stackrel{\rm df}{=} \;
\frac{\partial v_i}{\partial x_k} + \frac{\partial v_k}{\partial x_i}

Zarówno tensor  \; D_{ik} \; jak i  \; A_{ik} \; rozumie się jako zmienne w czasie pola tensorowe, zależne od wektora położenia  \; x_j \; jak i czasu  \; t \, .

Rozumiana w ten sposób szybkość ścinania jest wielkością tensorową reprezentowaną przez symetryczny tensor drugiego rzędu. Tak zdefiniowana szybkość ścinania jest niezmiennicza względem obrotów układu współrzędnych.

Szybkość ścinania jako wielkość skalarna[edytuj | edytuj kod]

Szybkość ścinania traktowana jest często jako wielkość skalarna. Jej ścisłą definicję wyraża się poprzez tzw. drugi niezmiennik  \; I_2 \; symetrycznego tensora szybkości ścinania  \; D_{ik} \; , zdefiniowany w sposób:

 I_2(D_{ik}) \; \stackrel{\rm df}{=} \; \frac{1}{2} \, D_{ik} D_{ki}

Skalarna szybkość ścinania  \; \dot \gamma \; jest pierwiastkiem kwadratowym z czterokrotnej wartości drugiego niezmiennika tensora szybkości ścinania:

 \dot \gamma  \; \stackrel{\rm df}{=} \;  \sqrt{4 \, I_2(D_{ik})}

Tak rozumiana definicja szybkości ścinania jako parametru skalarnego stanowi ścisłą wersję popularnej definicji tego pojęcia. Niestety, wersja ścisła definicji charakteryzuje się wysokim poziomem abstrakcji i jest niezrozumiała dla zwykłego odbiorcy. Dlatego też w literaturze spotyka się często popularną definicję szybkości ścinania, podawaną często z błędami, zwłaszcza w polskiej literaturze naukowej.

Popularna definicja szybkości ścinania[edytuj | edytuj kod]

Jeśli kierunek osi  \; y \; prostokątnego układu współrzędnych jest zgodny z płaszczyzną przesuwających się względem siebie warstw płynu, a kierunek osi  \; z \; jest prostopadły do nich, wówczas szybkość ścinania  \; \dot \gamma \; określić można jako pochodną składowej  \; y \; wektora prędkości płynu  \; v \; względem kierunku prostopadłego  \; z \; z pominięciem fragmentu wartości tej pochodnej związanego z istnieniem prędkości kątowej ruchu płynu  \; \omega \;  :

 \dot \gamma  \; = \;  \frac{\partial v_y}{\partial z} - \omega

W przypadku, gdy przepływ płynu nie ma charakteru ruchu obrotowego (tj. gdy ruch płynu jest czysto postępowy), wówczas prędkość kątowa w powyższym wzorze na szybkość ścinania może być pominięta i redukuje się on do postaci:

 \dot \gamma  \; = \;  \frac{\partial v_y}{\partial z}

Jednakże pominięcie prędkości kątowej w uprzednio podanym ogólnym wzorze definicyjnym, (spotykane zresztą często w polskiej literaturze naukowej), jest błędem merytorycznym wynikającym z niezrozumienia przez pomijającego istoty pojęcia szybkości ścinania. Pojęcie to związane jest bowiem z kinematyczną względną różnicą prędkości między sąsiadującymi ze sobą warstwami płynu. Natomiast w przypadku ruchu obrotowego niezerowa wartość pochodnej przestrzennej prędkości powstaje zawsze w przypadku sztywnego obrotu całego układu fizycznego względem przyjętego układu współrzędnych przestrzennych, jak to ma na przykład miejsce przy sztywnym obrocie wypełnionej płynem szklanki wokół jej osi. Powstająca w taki sposób przestrzenna pochodna prędkości nie ma nic wspólnego z różnicą prędkości między sąsiadującymi ze sobą warstwami płynu. Dlatego też efekt ten musi być uwzględniony we wzorze definicyjnym i wyraża się on poprzez wprowadzenie prędkości kątowej.

Jednostki[edytuj | edytuj kod]

W układzie SI jednostką szybkości ścinania jest w 1/s (odwrotność sekundy). W starym, wycofanym już układzie CGS jednostka szybkości ścinania była taka sama.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Szybkość ścinania jest jednym z fundamentalnych pojęć stosowanych w mechanice płynów rzeczywistych. Używa się go we współczesnej wersji hydrodynamicznego prawa Newtona wyrażającego związek między naprężeniami w płynie i występującą w czasie jego ruchu szybkością ścinania.

Inne informacje[edytuj | edytuj kod]

W literaturze spotkać można często błędne definicje szybkości ścinania. Ponadto szybkość ścinania mylona jest niekiedy z gradientem prędkości. Są to jednak pojęcia o wyraźnie różniących się konotacjach i nie powinny być one nigdy traktowane jako synonimy.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Literatura[edytuj | edytuj kod]

  1. Aris R.: Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, (1965).
  2. Batchelor G.K.: Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge.
  3. Flügge S. (Herausgegeber), Truesdell C. (Mitherausgegeber): Hadbuch der Physik, Bd. III/1 The Clasical Theory of Field, Bd. III/3 The Non-Linear Flield Theories of Mechanics, Bd. VIII/1: Strömungmechanik I, Bd. VIII/2: Strömungmechanik II, Bd. VIII/3: Strömungmechanik III, Springer, Berlin – Heidelberg – Göttingen – New York.