Tabela równań termodynamicznych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Niniejsza strona stanowi zwięzłe zestawienie obowiązujących w termodynamice równań i wielkości.

Wielkości[edytuj | edytuj kod]

Zmienne sprzężone
   p Ciśnienie V objętość
   T Temperatura S Entropia
   μ Potencjał chemiczny N lub n Liczność materii wyrażona jako liczba cząstek lub moli
Potencjały termodynamiczne
   U Energia wewnętrzna A Energia swobodna
   H Entalpia G Entalpia swobodna
Własności materiałów
   ρ Gęstość
   CV   Pojemność cieplna (przy stałej objętości)
   CP   Pojemność cieplna (przy stałym ciśnieniu)
   \beta_T Izotermiczny Współczynnik ściśliwości
   \beta_S Adiabatyczny Współczynnik ściśliwości
   \alpha Współczynnik Rozszerzalności cieplnej
Inne zmienne konwencjonalne
   w Praca
   q Ciepło
Stałe
   kB Stała Boltzmanna
   R Stała gazowa

Niżej przedstawione równania ułożone są tematycznie

Pierwsza zasada termodynamiki[edytuj | edytuj kod]

~ dU=\delta q-\delta w ~

Należy zwrócić uwagę, iż symbol \delta oznacza, że q i w nie są funkcjami stanu, a funkcjami procesu, gdzie \delta q and \delta wróżniczkami niezupełnymi.

W niektórych dziedzinach jak np. chemia fizyczna, dodatnia praca jest tradycyjnie rozumiana jako praca wykonana przez otoczenie nad układem, a pierwsza zasada jest wyrażona wówczas jako dU=\delta q+\delta w.

Entropia[edytuj | edytuj kod]

~ S = k (\ln \Omega) ~
~ \Delta S = \frac{\Delta Q}{T} ~

Własności kwantowe[edytuj | edytuj kod]

~ U = N k_B T^2 (\frac{\partial \ln Z}{\partial T})_V ~
~ S =  \frac{U}{T} + N k_B \ln Z ~  Cząstki rozpoznawalne
~ S =  \frac{U}{T} + N k_B \ln Z - N k \ln N + Nk ~  Cząstki nie dające się rozróżnić
~ Z_t = \frac{(2 \pi m k_B T)^\frac{3}{2} V}{h^3} ~
~ Z_v = \frac{1}{1 - e^\frac{-h \omega}{2 \pi k_B T}} ~
~ Z_r = \frac{2 I k_B T}{\sigma (\frac{h}{2 \pi})^2} ~
~ \sigma = 1 ~ wielojądrowy 
~ \sigma = 2 ~ jednojądrowy


N jest liczbą cząstek, Z jest funkcją podziału, h jest stałą Planck'a , I jest momentem bezwładności, Zt jest Ztranslacji, Zv jest Zdrgań, Zr jest Zrotacji

Procesy kwazistatyczne i procesy odwracalne[edytuj | edytuj kod]

~ dQ=C_p dT+l_v d_v 
=dU+PdV
=TdS~

Pojemność cieplna przy stałym ciśnieniu[edytuj | edytuj kod]

~ C_p=\left ( {\partial U\over \partial T} \right )_p 
+p \left ( {\partial V\over \partial T} \right )_p 
= \left ( {\partial H\over \partial T} \right )_p 
= T \left ( {\partial S\over \partial T} \right )_p ~

Pojemność cieplna przy stałej objętości[edytuj | edytuj kod]

~ C_V=\left ( {\partial U\over \partial T} \right )_V
= T \left ( {\partial S\over \partial T} \right )_V ~

Entalpia[edytuj | edytuj kod]

~ H \equiv U+pV = \mu N + TS~

Energia swobodna[edytuj | edytuj kod]

~ A \equiv U-TS = \mu N - pV ~

Entalpia swobodna[edytuj | edytuj kod]

~ G \equiv U+pV-TS = H-TS = \mu N ~

Relacje Maxwella[edytuj | edytuj kod]

~ \left ( {\partial T\over \partial V} \right )_{S,N} 
= -\left ( {\partial p\over \partial S} \right )_{V,N} ~
~ \left ( {\partial T\over \partial p} \right )_{S,N} 
= \left ( {\partial V\over \partial S} \right )_{p,N} ~
~ \left ( {\partial T\over \partial V} \right )_{p,N} 
= -\left ( {\partial p\over \partial S} \right )_{T,N} ~
~ \left ( {\partial T\over \partial p} \right )_{V,N} 
= \left ( {\partial V\over \partial S} \right )_{T,N} ~

Procesy przyrostowe[edytuj | edytuj kod]

~ dU = T\,dS-p\,dV + \mu\,dN ~
~ dA = -S\,dT-p\,dV + \mu\,dN ~
~ dG = -S\,dT+V\,dp + \mu\,dN = \mu\,dN +N\,d\mu ~
~ dH = T\,dS+V\,dp + \mu\,dN ~

Ściśliwość przy stałej temperaturze[edytuj | edytuj kod]

~ K_T = -{ 1\over V } \left ( {\partial V\over \partial p} \right )_{T,N} ~

Inne związki[edytuj | edytuj kod]

~ \left ( {\partial S\over \partial U} \right )_{V,N} 
=  { 1\over T } ~
~ \left ( {\partial S\over \partial V} \right )_{N,U} 
=  { p\over T } ~
~ \left ( {\partial S\over \partial N} \right )_{V,U} 
= - { \mu \over T } ~
~ \left ( {\partial T\over \partial S} \right )_V 
= { T \over C_V } ~
~ \left ( {\partial T\over \partial S} \right )_p 
= { T \over C_p } ~
~ -\left ( {\partial p\over \partial V} \right )_T 
= { 1 \over {VK_T} } ~

Tabela równań dla gazu idealnego (PV^m=constant)[edytuj | edytuj kod]

Stałe ciśnienie Stała objętość Izoterma Adiabata
Zmienna \Delta p=0\; \Delta V=0\; \Delta T=0\; q=0\;
m\; 0\; \infty\; 1\; \gamma=\frac {C_p}{C_V} \;
Praca
\begin{matrix}w=-\int_{V_1}^{V_2} pdV \end{matrix}
-p\left ( V_2-V_1 \right )\; 0\; -nRT\ln\frac{V_2}{V_1}\; C_V\left ( T_2-T_1 \right )\;
Pojemność cieplna, C\; C_p = (5/2)nR\; C_V = (3/2)nR \; C_p\; or C_V\; C_p\; or C_V\;
Energia wewnętrzna, \Delta U = 3/2 *nR\Delta T\; q+w\;
q_p+p\Delta V\;
q\;
C_V\left ( T_2-T_1 \right )\;
0\;
q=-w\;
w\;
C_V\left ( T_2-T_1 \right )\;
Entalpia, \Delta H\;
H=U+pV\;
C_p\left ( T_2-T_1 \right )\; q_V+V\Delta P\; 0\; C_p\left ( T_2-T_1 \right )\;
Entropia
\begin{matrix}\Delta S=-\int_{T_1}^{T_2} \frac {C}{T}dT \end{matrix}
C_p\ln\frac{T_2}{T_1}\; C_V\ln\frac{T_2}{T_1}\; nR\ln\frac{V_2}{V_1}\;
\frac{q}{T}\;
0\;

Inne użyteczne tożsamości[edytuj | edytuj kod]

\Delta U = q_{by} + w_{on} = q_{by} - \int p_{ext}dV = q_{by} - p_{ext}\Delta V
H = U + pV \,\!
A = U - TS \,\!
G = H - TS = \sum_{i} \mu_{i} N_{i} \,\!
dU\left(S,V,{n_{i}}\right) = TdS - pdV + \sum_{i} \mu_{i} dN_i
dH\left(S,p,n_{i}\right) = TdS + Vdp + \sum_{i} \mu_{i} dN_{i}
dA\left(T,V,n_{i}\right) = -SdT - pdV + \sum_{i} \mu_{i} dN_{i}
dG\left(T,p,n_{i}\right) = -SdT + Vdp + \sum_{i} \mu_{i} dN_{i}
C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V = T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V
C_p = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p
\mu_{JT} = \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_H
\kappa_{T} = -\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial p}\right)_T
\alpha_{p} = \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p
\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_T = V - T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_p
\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = T\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)_V - p
H = -T^2\left(\frac{\partial \left(G/T\right)}{\partial T}\right)_p
U = -T^2\left(\frac{\partial \left(A/T\right)}{\partial T}\right)_V


Dowód #1[edytuj | edytuj kod]

Jest to przykład wykorzystujący wyżej przedstawioną metodę:


\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_H 
= -\frac{1}{C_p}
   \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_T

\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_H
\left(\frac{\partial p}{\partial H}\right)_T
\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p
= -1

\left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_H 
= -\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_T
   \left(\frac{\partial T}{\partial H}\right)_P

= \frac{-1}{\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p}
  \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_T
 ; C_p = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_p

\Rightarrow \left(\frac{\partial T}{\partial p}\right)_H
= -\frac{1}{C_p}
   \left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)_T

Dowód #2[edytuj | edytuj kod]

Inny przykład:


C_V = T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V

U = q + w \,\!

dU = dq_{rev} + w_{rev} ; dS = \frac{dq_{rev}}{T}, w_{rev} = -pdV \,\!

= TdS-pdV  \,\!

\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V
= T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V
- p\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_V ; C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V

\Rightarrow C_V = T\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_V