Tensor żyracji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Tensor żyracji jest tensorem opisującym drugi moment, który opisuje pozycję zbioru cząstek lub cząstek elementarnych.


S_{mn} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} r_{m}^{(i)} r_{n}^{(i)}

gdzie r_{m}^{(i)} jest \mathrm{m^{ta}} współrzędną kartezjańską wektora pozycyjnego \mathbf{r}^{(i)} \mathrm{i^{tej}} cząstki.

Początek układu współrzędnych został dobrany tak aby został spełniony następujący warunek:


\sum_{i=1}^{N} \mathbf{r}^{(i)} = 0

co oznacza, że system posiada centrum masy r_{CM}, zdefiniowane w sposób następujący:


r_{CM}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N} \mathbf{r}^{(i)}

W układzie ciągłym tensor żyracji jest zapisywany jako:


S_{mn} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \int d\mathbf{r} \ \rho(\mathbf{r}) \ r_{m} r_{n}

gdzie \rho(\mathbf{r}) reprezentuje gęstość cząstek w zadanym położeniu \mathbf{r}.

Pomimo że, tensor żyracji oraz tensor momentu bezwładności wyrażone są za pomocą odmiennych jednostek to wykazują one istotne podobieństwo. Kluczową różnicą jest nadanie masy każdej z cząstek opisywanych za pomocą tensora momentu bezwładności podczas gdy wartość tensora żyracji zależy jedynie od położenia cząstek a masa nie odgrywa żadnego znaczenia. Dlatego też w przypadku gdy wszystkie cząstki w opisywanym układzie mają taką samą masę to obydwa tensory są do siebie proporcjonalne.

Diagonalizacja[edytuj | edytuj kod]

Ponieważ tensor żyracji stanowi symetryczną macierz kwadratową o rozmiarze 3x3, to kartezjański układ współrzędnych może być wyznaczona w oparciu o część diagonalną macierzy.


\mathbf{S} = \begin{bmatrix}
\lambda_{x}^{2} & 0 & 0 \\
0 & \lambda_{y}^{2} & 0 \\
0 & 0 & \lambda_{z}^{2}
\end{bmatrix}

gdzie osie są dobrane w taki sposób aby elementy diagonalne były uporządkowane w sposób następujący:

\lambda_{x}^{2} \leq \lambda_{y}^{2} \leq \lambda_{z}^{2}.

Opisane elementy diagonalne są zwyczajowo nazywane "momentami głównymi" tensora żyracji.

Parametry opisujące kształt cząsteczki[edytuj | edytuj kod]

Momenty główne tensora żyracji mogą posłużyć do wyrażenia kilku parametrów opisujących rozmieszczenie cząsteczek; podniesiony do kwadratu promień żyracji jest sumą momentów głównych.


R_{g}^{2} = \lambda_{x}^{2} + \lambda_{y}^{2} + \lambda_{z}^{2}

Asferyczność b jest definiowana w sposób następujący:


b \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \lambda_{z}^{2} - \frac{1}{2} \left( \lambda_{x}^{2} + \lambda_{y}^{2} \right)

Wielkość ta jest zawsze dodatnia, przyjmuje wartość zerową jedynie gdy wszystkie momenty główne są równe, λx = λy = λz. Jest to osiągane gdy rozmieszczenie cząstek w przestrzeni jest sferyczne (stąd też wywodzi się nazwa tego parametru), lub też gdy rozmieszczenie cząstek jest symetryczne względem wszystkich osi w układzie – przykładowo cząsteczki są rozmieszczone na podobieństwo sześcianu, tetraedru lub innej bryły platońskiej.

W podobny sposób acylindryczność c jest definiowana jako:


c \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \lambda_{y}^{2} - \lambda_{x}^{2}

Wielkość ta ma zawsze wartość dodatnią, przyjmuje wartość zerową tylko gdy dwa momenty główne są równe, λx = λy. Warunek ten jest spełniony gdy rozmieszczenie cząstek jest cylindrycznie symetryczne (stąd pochodzi miano parametru). Jednakże w sytuacji, gdy rozmieszczenie cząstek jest symetryczne względem dwóch osi układu współrzędnych acylindryczność także równa się zeru.

Natomiast względna anizotropia kształtu \kappa^{2} jest definiowana jako:


\kappa^{2} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \frac{b^{2} + (3/4) c^{2}}{R_{g}^{4}}

Parametr ten przyjmuje wartości w zakresie od zera do jeden.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  • Mattice WL, Suter UW: Conformational Theory of Large Molecules. Wiley Interscience, 1994. ISBN 0-471-84338-5
  • Theodorou DN, Suter UW. Shape of Unperturbed Linear Polymers: Polypropylene. „Macromolecules”, s. 1206–1214, 1985. doi:10.1021/ma00148a028.