Tensor metryczny

W tym artykule obowiązuje konwencja sumacyjna Einsteina.

Tensor metryczny jest to symetryczny tensor drugiego rzędu (dwuwymiarowy) opisujący związek danego układu współrzędnych z układem kartezjańskim. Jest on podstawowym pojęciem geometrii różniczkowej (oraz elektrodynamiki, teorii względności i innych teorii których językiem jest geometria różniczkowa), jego podstawowym zastosowaniem jest występowanie w iloczynie skalarnym dwóch wektorów (obowiązuje konwencja sumacyjna):

$A \cdot B = g_{\mu\nu}A^{\mu}B^{\nu} = A^{\mu}B_{\mu}$

gdzie:

$g_{\mu\nu}$ – tensor metryczny

$A^{\mu}$ – wektor o współrzędnych kontrawariantnych

$B_{\mu}$ – wektor o współrzędnych kowariantnych

Definicja tensora metrycznego

Niech będą dane dwa układy współrzędnych (bazy przestrzeni) w przestrzeni n-wymiarowej:

• kartezjański $\{ x^{i} \} ^{n}_{i=1}$
• krzywoliniowy $\{ q^{i} \} ^{n}_{i=1}$

Zdefiniujmy skalar długości jako:

$ds^{2} = (dx^{1})^{2} + \cdots + (dx^{n})^{2}$

Jest to wielkość niezależna od układu współrzędnych, w układzie $\{ q^{i} \} ^{n}_{i=1}$ wyraża się jako:

$ds^{2} = (dq^{1})^{2} + \cdots + (dq^{n})^{2}$

Korzystając z reguły przejścia z jednego układu do drugiego:

$dx^{i} = \sum _{j=1}^{n} \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{j} } dq^{j}$

Otrzymujemy następujący wzór na skalar długości:

$ds^{2} = \sum _{i=1}^{n} \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{j} } \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{k} } dq^{j} dq^{k}$

Wyraz stojący po lewej stronie iloczynu różniczek jest właśnie tensorem metrycznym:

$g_{jk} = \sum _{i=1}^{n} \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{j} } \frac{\partial x^{i}} {\partial q^{k} }$

Własności tensora metrycznego

Symetryczność

$g_{ij} = g_{ji}$ Ze względu na definicję tensor metryczny jest zawsze symetryczny.

Symetria góra-dół

$g_{ij}^{-1} = g^{ji}$ Tensor kowariantno-kowariantny jest reprezentowany przez macierz odwrotną do macierzy tensora kontrawariantno-kontrawariantnego.

$g^i_{\ j}=g^{ik}g_{kj}=g^{ki}g_{jk}=g^{\ i}_{j}$

Obniżanie/podnoszenie wskaźników

Dla dowolnego wektora a zachodzi:

$a_{i} = g_{ij} a^{j}$ oraz $a^{i} = g^{ij} a_{j}$

"Diagonalność" i współczynniki Lamego

Jeżeli układ współrzędnych jest ortogonalny, to tensor metryczny dla tego układu jest diagonalny. Zdefiniować wtedy można współczynniki Lamego:

$h^{2}_{i} = g_{ii}$ (nie ma sumowania)

Przykłady tensorów metrycznych

Układ kartezjański (n-wymiarowy)

W układzie kartezjańskim współrzędne kontra- i kowariantne są takie same, stąd otrzymujemy:

$g_{ij} = \delta_{ij} = g^{ij}$

gdzie

$\delta_{ij}$ – delta Kroneckera

Układ kartezjański 3D

Macierz tensora metrycznego dla trójwymiarowego układu kartezjańskiego ma postać:

$g_{ij} = g^{ji} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Można pokazać, że transformacja obrotu układu współrzędnych nie zmienia tensora metrycznego w układzie kartezjańskim.

Czasoprzestrzeń (4D)

W czterowymiarowej czasoprzestrzeni stosuje się specjalny tensor metryczny, dla którego znak współrzędnej czasowej jest przeciwny niż znak współrzędnych przestrzennych. Najczęściej stosowanym tensorem metrycznym w przestrzeni Minkowskiego (szczególna teoria względności) jest tensor postaci:

$g_{\mu \nu} = g^{\mu \nu} = \eta_{\mu \nu} = \eta^{\mu \nu} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$

W mechanice relatywistycznej przyjęło się oznaczać czterowektory za pomocą indeksów greckich – w celu odróżnienia od ich składowych przestrzennych, które nadal są oznaczane indeksami łacińskimi.

Warto zwrócić uwagę na fakt, że skalar długości w tej metryce to:

$ds^{2} = c^{2}dt^{2} - dx^{2} - dy^{2} - dz^{2}$

czyli interwał czasoprzestrzenny – punkt wyjścia teorii względności.

W ogólnej teorii względności rozważa się inne tensory metryczne opisujące zakrzywienie przestrzeni, np. dla metryki Schwarzschilda we współrzędnych $(c t, r, \theta, \phi)$:

$g_{\mu \nu} = \begin{bmatrix} 1 - \frac{r_s}{r} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{1-\frac{r_s}{r}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r^2 \sin^2 \theta \end{bmatrix}$

Współrzędne sferyczne (3D)

Współrzędne sferyczne $(r, \theta, \phi)$ są związane z współrzędnymi kartezjańskimi za pomocą związków:

$\left \{ \begin{matrix} x = r\sin \theta \cos \phi \\ y = r\sin \theta \sin \phi \\ z = r\cos \theta \end{matrix} \right.$

Powyższe współrzędne są współrzędnymi kontrawariantnymi.

Obliczając z definicji tensor metryczny otrzymujemy:

$g_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^{2} & 0 \\ 0 & 0 & r^{2} \sin^{2} \theta \end{bmatrix}$

$g^{ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{r^{2}} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{r^{2} \sin^{2} \theta} \end{bmatrix}$

Zobacz też

• teoria Kaluzy-Kleina