Tensor napięć-energii

Inaczej tensor energii-pędu jest tensorem wymiaru 4x4, którego każda składowa określa strumień czteropędu przez (trójwymiarową) hiperpowierzchnię przecinającą czterowymiarową czasoprzestrzeń fizyczną. Aby obliczyć składową [a,b] tego tensora w danym punkcie, bierzemy średnią (całkę) składowej a wektora czteropędu i dzielimy przez element hiperpowierzchni prostopadłej do wektora bazowego odpowiadającego wymiarowi b. Element [0,0] tego tensora to zwyczajna gęstość masy, składowe [0,a], gdzie 1 ≤ a ≤ 3 to gęstość pędu (średnia wartość pędu w jakimś obszarze, dzielona przez objętość tego obszaru), a część [a,b], gdzie a i b przyjmują wartości 1 do 3, to znany z techniki tensor napięć. Składowe diagonalne tego tensora to ciśnienie, a pozadiagonalne, to tzw. napięcie (albo naprężenie).

Własności

Tensor napięć-energii jest w standardowej teorii względności symetryczny. Istnieją jednak teorie, gdzie postuluje się, że jest asymetryczny. W takich teoriach nie obowiązuje zasada zachowania spinu, choć obowiązuje zasada zachowania momentu pędu – spin może zamieniać się w orbitalny moment pędu i na odwrót. Przy symetrycznym tensorze napięć-energii spin i orbitalny moment pędu są zachowane niezależnie.

Tensor napięć podlega zasadzie ciągłości:

$\delta_{\alpha} T^{\alpha \beta} = 0,\!$

Jest to odpowiednik zasady ciągłości strugi z mechaniki płynów. Jeżeli przepływ energii w jednym kierunku staje się mniejszy, to większe muszą się stać przepływy w innych kierunkach, żeby energia miała gdzie "uciec".

Wyprowadzenie

Wariacja grawitacyjnej całki działania

$\frac{\delta S}{\delta g^{\mu \nu}}=0$

względem tensora metrycznego (g^{μ ν} ) daje równania Einsteina

$R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} R + \Lambda g_{\mu \nu}=-K T_{\mu \nu}$

definiując tensor energii-pędu:

$T_{\mu \nu}=2\frac{\partial L_{m}}{\partial g^{\mu \nu}}-g_{\mu \nu}L_{m}$

gdzie L_m jest funkcją Lagrange'a opisującą materię. Tensor energii pędu jest źródłem zakrzywienia czasoprzestrzeni.

W przybliżeniu quasiklasycznym traktujemy materię kwantowo, a pole grawitacyjnie w sposób klasyczny. W tym podejściu tensor energii-pędu zastępowany jest przez jego średnią, która jest liczona zgodnie z prawidłami kwantowej mechaniki statystycznej

$T_{\mu \nu} \rightarrow \langle T_{\mu \nu} \rangle$

Równania Einstaina przyjmuje postać

$R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} g_{\mu \nu} R + \Lambda g_{\mu \nu}=-K \langle T_{\mu \nu} \rangle$

Tensor energii pędu jest teraz określony przez gęstość energii i ciśnienie układu fizycznego

$\langle T_{\mu \nu} \rangle =(\epsilon + P)u_{\mu}u_{\nu} - g_{\mu \nu} P$

gdzie u jest wektorem jednostkowym $u_{\mu}u^{\mu}=1$, $\epsilon$ jest przestrzennym rozkładem energii, a P rozkładem ciśnienia.

Przykładowo, w płaskiej przestrzeni Minkowskiego g_{μ ν}=η_{μ ν}=diag(1,-1,-1,-1) wektor jednostkowy u^μ={1,0,0,0} i tensor energii-pędu ma postać macierzową

$T_{\mu \nu}=\begin{bmatrix}\epsilon&0&0&0\\0&P&0&0\\0&0&P&0\\0&0&0&P \end{bmatrix}$

Pełna informacja o układzie fizycznym musi jeszcze zawierać równanie stanu materii (EOS), czyli zależność cisnienia od gęstości materii

$P = P \left( \epsilon \right)$

Zobacz też

• równanie Einsteina