Teoria Galois

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy wprowadzenia w teorię Galois. Zobacz też: formalny opis teorii.
Évariste Galois (1811–1832)

Teoria Galois – nosząca nazwisko Évariste'a Galois teoria matematyczna, a dokładniej teoria algebry abstrakcyjnej, wskazująca związki między teorią ciał a teorią grup. Umożliwia ona redukcję pewnych problemów teorii ciał do zagadnień w pewnym sensie prostszej i lepiej poznanej teorii grup.

Wkładem Galois w tę dziedzinę było opisanie związków między pierwiastkami danego równania wielomianowego za pomocą grup permutacji oraz opisaniem wszystkich ciał skończonych. Współczesne podejście opracowane przez Richarda Dedekinda, Leopolda Kroneckera, Emila Artina i innych obejmuje przede wszystkim badanie automorfizmów rozszerzeń ciała.

Daleko idącą abstrakcją teorii Galois jest teoria połączeń Galois.

Zastosowania w konstrukcjach klasycznych[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: konstrukcje klasyczne.

Główną motywacją teorii Galois było poniższe pytanie, na które odpowiedź znana jest dziś jako twierdzenie Abela-Ruffiniego:

„Dlaczego nie ma wzoru na pierwiastki równania wielomianowego piątego (lub wyższego) stopnia wyrażonego współczynnikami wielomianu, który zawierałby wyłącznie tylko zwyczajne operacje algebraiczne (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie) i wyciąganie pierwiastków (kwadratowych, sześciennych itd.)?”

Teoria Galois dostarcza nie tylko pięknej odpowiedzi na to pytanie, lecz wyjaśnia także szczegółowo, dlaczego możliwe jest rozwiązywanie w ten sposób równań stopnia czwartego i niższych oraz dlaczego rozwiązania te przyjmują taką, a nie inną postać. Więcej, daje ona koncepcyjnie przejrzyste i częstokroć praktyczne środki umożliwiające wskazanie, kiedy dane równanie wyższego stopnia może być rozwiązane tym sposobem.

Teoria Galois daje również przekonujące rozwiązania zadań konstrukcyjnych wykonywanych za pomocą cyrkla i linijki; w tym przedstawia ona elegancką charakteryzację stosunków długości, które mogą być skonstruowane tą metodą, dzięki czemu względnie łatwo[1] odpowiedzieć na takie problemy klasyczne geometrii jak:

„Dlaczego nie jest możliwa podzielenie każdego kąta na trzy części w ogólnym przypadku?”,
„Czy można dla danego sześcianu skonstruować sześcian o dwa razy większej objętości?”,
„Czy można skonstruować kwadrat o polu równym danemu kołu?” (wykorzystując fakt, iż liczba π jest przestępna);
„Które wielokąty foremne są wielokątami konstruowalnymi?”[2].

Innym zastosowaniem tej teorii jest prosty dowód zasadniczego twierdzenia algebry mówiącego, iż ciało liczb zespolonych jest algebraicznie domknięte.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Początki teorii Galois sięgają badań nad funkcjami symetrycznymi – współczynniki wielomianu są (z dokładnością do znaku) elementarnymi wielomianami symetrycznymi pierwiastków. Przykładowo (x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab, gdzie a + b i ab są wielomianami elementarnymi stopni pierwszego i drugiego dwóch zmiennych.

Jako pierwszy formalnie ujął to szesnastowieczny matematyk francuski François Viète w tzw. wzorach Viète'a dla dodatnich pierwiastków rzeczywistych. W opinii osiemnastowiecznego matematyka brytyjskiego Charlesa Huttona[3] wyrażenie współczynników wielomianu za pomocą pierwiastków (nie tylko dodatnich) zostało po raz pierwszy w pełni zrozumiane przez siedemnastowiecznego matematyka francuskiego Alberta Girarda; Hutton pisze:

…[Girard był] pierwszą osobą, która zrozumiała ogólną metodę tworzenia współczynników potęg z sum pierwiastków i ich iloczynów. Był pierwszym, który odkrył zasady sumowania potęg pierwiastków dowolnego równania.

W duchu tym wyróżnik należy postrzegać jako symetryczną funkcję pierwiastków odzwierciedlającą ich własności – jest on równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian ma pierwiastek wielokrotny, a dla wielomianów kwadratowych i sześciennych jest on dodatni wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie ich pierwiastki są rzeczywiste i różne oraz ujemny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje para różnych sprzężonych pierwiastków zespolonych (zob. wyróżnik: natura pierwiastków).

Ogólne rozwiązanie równań sześciennych zostało częściowo podane przez żyjącego na przełomie XV i XVI wieku matematyka włoskiego Scipione del Ferrę; nie opublikował on jednak swoich wyników – jego metoda dawała rozwiązanie tylko dla jednej z trzech klas tych równań, które nie wymagają brania pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych. Należy jednak zaznaczyć, że nie znano jeszcze wówczas liczb zespolonych. Rozwiązanie to zostało niezależnie odkryte na nowo w 1535 roku przez Niccolò Fontanę Tartaglię, który podzielił się tym sekretem z Gerolamo Cardano prosząc go o jego niepublikowanie. Cardano rozszerzył otrzymane rozwiązanie o dwa pozostałe przypadki wykorzystując jako kroki pośrednie pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych; zob. metoda Cardano. Po odkryciu prac Ferra stwierdził on, że metoda Tartaglii nie jest już więcej tajemnicą, dlatego opublikował pełne rozwiązanie w pracy z 1545 roku pt. Ars Magna. Jego student Lodovico Ferrari podał rozwiązania dla wielomianów czwartego stopnia, które Cardano zawarł w swoim Ars Magna.

Kolejnym kamieniem milowym była praca francusko-włoskiego matematyka Josepha Louisa Lagrange'a z 1770 roku zatytułowana Réflexions sur la résolution algébrique des équations, w której korzystając z opracowanej przez siebie metody znanej dziś jako rezolwenty Lagrange'a analizował on rozwiązania Cardano i Ferrariego dla równań trzeciego i czwartego stopnia poprzez wyrażanie ich jako permutacji pierwiastków. Poprzez wprowadzenie pomocniczego wielomianu trzeciego stopnia podejście to umożliwiło całościowe traktowanie rozwiązań, co niejako położyło podwaliny pod teorię grup i teorię Galois. Należy zaznaczyć, że Lagrange nie rozpatrywał złożeń permutacji. Ponadto metoda Lagrange'a nie obejmowała równań piątego stopnia i wyższych, gdyż rezolwenta ma wtedy wyższy stopień.

Fakt, iż nie można podać ogólnego rozwiązania równań piątego stopnia wyrażonych przez pierwiastniki został nieomalże dowiedzione przez Paolo Ruffiniego w 1799 roku: kluczem było wykorzystanie grup permutacji, a nie tylko pojedynczej permutacji. Rozwiązanie przez niego podane zawierało lukę, którą Cauchy uważał za możliwą do uzupełnienia; mimo wszystko nie udało się jej usunąć nikomu, aż do 1824 roku, kiedy to norweski matematyk Niels Henrik Abel opublikował dowód twierdzenia znanego dziś jako twierdzenie Abela-Ruffiniego.

Choć Ruffini i Abel dowiedli, że ogólne rozwiązanie równań piątego stopnia nie istnieje, to jednak istnieją szczególne rozwiązania pewnych równań piątego stopnia; przykładem może być wielomian (x - 1)^5. Dokładne kryterium określające rozwiązalność danego wielomianu piątego lub wyższego stopnia zostało sformułowane przez Évariste'a Galois w 1830 roku, który pokazał, że rozwiązalność wielomianu jest równoważna temu, czy grupa permutacji jego pierwiastków ma określoną strukturę – w języku współczesnym: czy jego grupa Galois jest rozwiązalna. Grupa ta jest zawsze rozwiązalna dla wielomianów stopnia czwartego i mniejszych, jednak nie zawsze dla wielomianów stopnia piątego i wyższych, co tłumaczy dlaczego nie istnieją ogólne rozwiązania równań wyższych stopni.

Twórcy teorii, Abel i Galois, zwracali uwagę na znaczenie ich odkryć dla teorii funkcji zespolonych, np. funkcji eliptycznych; później okazało się, że mieli rację: odpowiednie grupy Galois niezależnie zdefiniowano topologicznie, jako grupy przekształceń nakrywających rozgałęzionych nakryć sfery.

Teoria Galois, a właściwie prace Galois, Abela i Ruffiniego nie znalazły szerokiego oddźwięku wśród współczesnych, co było zarówno kwestią mody (brak zainteresowania matematyką dyskretną), jak i zwięzłości stylu oraz krótkiego życia twórców. Teoria Galois uzyskała rozgłos dzięki Josephowi Liouville'owi, który wydał prace Galois i Camille'owi Jordanowi, a głównie jego Traité des substitutions et des équations algebraique z 1870 roku. Jordan podjął badania tam, gdzie zakończyła je śmierć Galois, co umożliwiło dalszy rozwój teorii grup.

Teoria Galois podlegała dalszemu rozwojowi w XX wieku, np. opracowano teorię Galois dla pierścieni, znalazła także szereg zastosowań w teorii liczb algebraicznych, teorii algebr nad ciałami, w geometrii algebraicznej; rozwinęły się z niej nowe dziedziny, np. kohomologie Galois. W samej teorii Galois wciąż intensywnie badane jest na przykład zagadnienie odwrotne teorii Galois.

Podejście klasyczne[edytuj | edytuj kod]

Może się zdarzyć, że dla danego wielomianu niektóre z jego pierwiastków związane są ze sobą różnego rodzaju równaniami algebraicznymi. Przykładowo może okazać się, że dla dwóch spośród jego pierwiastków oznaczanych dalej A i B spełnione jest równanie A^2 + 5B^3 = 7. Zasadniczą ideą teorii Galois jest rozpatrywanie tych permutacji (uporządkowań) pierwiastków, dla których dowolne równanie algebraiczne spełniane przez te pierwiastki jest nadal spełniane po zmianie uporządkowania pierwiastków. Istotne jest zastrzeżenie ograniczenia się do równań algebraicznych o współczynnikach wymiernych (można również określić pewne ciało do którego powinny należeć współczynnik, lecz w poniższych prostych przykładach wykorzystywane będzie ciało liczb wymiernych).

Permutacje te tworzą razem grupę permutacji nazywaną grupą Galois wielomianu (nad liczbami wymiernymi). Wyjaśnione to zostanie w przykładzie.

Przykład: równanie kwadratowe[edytuj | edytuj kod]

Niech dane będzie równanie kwadratowe

x^2 - 4x + 1 = 0.

Rozwiązując je znajduje się dwa pierwiastki

A = 2 + \sqrt 3,
B = 2 - \sqrt 3.

Równaniami algebraicznymi spełnianymi przez A i B są m.in.

A + B = 4

oraz

AB = 1.

Oczywiście zamieniając w dowolnym z powyższych równań pierwiastków A i B uzyskuje się inne prawdziwe zdanie. Przykładowo A + B = 4 staje się po prostu B + A = 4. Co więcej, choć jest to mniej oczywiste, że jest tak dla każdego równania algebraicznego o współczynnikach wymiernych spełnianego przez pierwiastki A i B; dowiedzenie tego wymaga teorii wielomianów symetrycznych.

Można więc wnosić, że grupa Galois wielomianu x^2 - 4x + 1 składa się z dwóch permutacji: permutacji tożsamościowej, która pozostawia A i B niezmienionymi oraz permutacja transponująca, która zamienia A i B. Jest to grupa cykliczna rzędu dwa, jest więc izomorficzna z \mathbb Z_2.

Można by przypuszczać, iż A i B związane są ze sobą jeszcze jednym równaniem algebraicznym,

A - B - 2\sqrt{3} = 0,

która nie jest spełnione przy zamianie A i B. Równanie to nie jest jednak istotne, gdyż nie ma ono współczynników wymiernych; w szczególności -2\sqrt{3} jest niewymierna.

Podobnie ma się rzecz z dowolnym wielomianem kwadratowym ax^2 + bx + c, gdy a, b, c są liczbami wymiernymi.

  • Jeżeli wielomian ma tylko jeden pierwiastek, np. x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2, to grupa Galois jest trywialna, tzn. zawiera wyłącznie permutację tożsamościową.
  • Jeżeli ma on dwa różne wymierne pierwiastki, przykładowo x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1), to grupa Galois znowu jest trywialna.
  • Jeżeli ma ona dwa niewymierne pierwiastki (także, gdy są one zespolone), to grupa Galois zawiera dwie permutacje, jak w powyższym przykładzie.

Przykład: równanie dwukwadratowe[edytuj | edytuj kod]

Zadaniem jest opisanie grupy Galois, znowu nad ciałem liczb wymiernych, wielomianu

x^4 - 10x^2 + 1,

który może być zapisany jako

(x^2 - 5)^2 - 24.

Ma on cztery pierwiastki:

A =  \sqrt 2 + \sqrt 3,
B =  \sqrt 2 - \sqrt 3,
C = -\sqrt 2 + \sqrt 3,
D = -\sqrt 2 - \sqrt 3.

Istnieją 24 sposoby ich uporządkowania, jednak nie wszystkie z tych permutacji należą do grupy Galois. Elementy grupy Galois muszą zachowywać dowolne równanie algebraiczne o współczynnikach wymiernych zawierające A, B, C, D. Jednym z nich jest

A + D = 0.

Jednakże ponieważ

A + C = 2\sqrt 3 \ne 0,

to permutacja

(A, B, C, D) \mapsto (A, B, D, C)

nie jest dozwolona: przekształca ona poprawne równanie A + D = 0 w nieprawidłowe równanie A + C = 0.

Innym równaniem, które spełniają pierwiastki jest

(A + B)^2 = 8.

Wyklucza ona kolejne permutacje, takie jak np.

(A, B, C, D) \mapsto (A, C, B, D).

Kontynuując w ten sposób okazuje się, że jedynymi permutacjami (spełniającymi jednocześnie oba równania) są

(A, B, C, D) \mapsto (A, B, C, D),
(A, B, C, D) \mapsto (C, D, A, B),
(A, B, C, D) \mapsto (B, A, D, C),
(A, B, C, D) \mapsto (D, C, B, A),

w ten sposób grupa Galois jest izomorficzna z czwórkową grupą Kleina.

Podejście współczesne[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: grupa Galois.

We współczesnym podejściu wychodzi się od rozszerzenia ciała L/K (czytaj: L przez K) i bada grupę automorfizmów ciała L/K; są to odwzorowania postaci \alpha\colon L \to L, gdzie \alpha(x) = x dla wszystkich x należących do K. Obserwując punkty stałe wspomnianych automorfizmów bada się w istocie najmniejsze rozszerzenie ciała, w którym dany wielomian rozkłada się na czynniki liniowe (tzn. ma wszystkie pierwiastki).

Związek między tymi dwoma podejściami jest jak następuje. Współczynniki badanego wielomianu powinny być wybrane z ciała bazowego K. Ciało nakrywające L powinno być ciałem uzyskanym poprzez dołączenie pierwiastków badanego wielomianu do ciała bazowego. Każda permutacja pierwiastków spełniających równania algebraiczne, jak to opisano wyżej, odpowiada pewnemu automorfizmowi L/K (i na odwrót).

W pierwszym z powyższych przykładów badano rozszerzenie \mathbb Q(\sqrt 3)/\mathbb Q, gdzie \mathbb Q jest ciałem liczb wymiernych, zaś \mathbb Q(\sqrt 3) jest ciałem uzyskanym z \mathbb Q poprzez dołączenie \sqrt 3. W drugim przypadku badano rozszerzenie \mathbb Q(A, B, C, D)/\mathbb Q.

Istnieje kilka istotnych powodów, dla których dziś preferuje się raczej podejście współczesne, a nie klasyczne podejście opisane wyżej:

Grupy rozwiązalne i rozwiązania pierwiastnikowe[edytuj | edytuj kod]

Abel zauważył, że ciało L powstaje z ciała K przez dołączenie pewnej liczby pierwiastków różnych stopni z elementów ciała K, gdy grupa Galois rozszerzenia L/K jest przemienna – stąd też pochodzi inna nazwa tych grup: grupa abelowa. Oznacza to, że pierwiastki wielomianu dają się wyrazić przez elementy ciała K przy pomocy pierwiastników, tzn. czterech działań ciała i pierwiastków elementów z ciała.

Pojęcie grupy rozwiązalnej z teorii grup umożliwia określenie, czy dany wielomian jest rozwiązalny za pomocą pierwiastników w zależności od tego, czy jego grupa Galois ma własność rozwiązalności (twierdzenie Galois). Dokładniej, każde rozszerzenie ciała L/K odpowiada grupie ilorazowej w ciągu kompozycyjnym grupy Galois. Jeżeli grupa ilorazowa ciągu kompozycyjnego jest cykliczna rzędu n, a odpowiadające jej rozszerzenie ciała zawiera pierwiastek pierwotny z jedynki, to jest to rozszerzenie pierwiastnikowe i elementy L mogą być wówczas wyrażone za pomocą pierwiastka n-tego stopnia pewnego elementu z K.

Jeżeli wszystkie grupy ilorazowe ciągu kompozycyjnego są cykliczne, to grupę Galois nazywa się rozwiązalną i wszystkie elementy odpowiadającego ciała dają się wyrazić za pomocą wyciągania pierwiastków, brania iloczynów i sum elementów ciała bazowego, którym zwykle jest \mathbb Q.

Jednym z donioślejszych triumfów teorii Galois był dowód, że dla każdego n > 4 istnieją wielomiany stopnia n, które nie są rozwiązalne przy pomocy pierwiastników – tzw. twierdzenie Abela-Ruffiniego. Jest to spowodowane faktem, iż dla każdego n > 4 grupa symetryczna S_n zawiera prostą, niecykliczną podgrupę normalną (podgrupę alternującą).

Przykład: nierozwiązywalne równanie piątego stopnia[edytuj | edytuj kod]

Van der Waerden cytuje wielomian f(x) = x^5 - x - 1. Na mocy twierdzenia o pierwiastkach wymiernych nie ma on wymiernych miejsc zerowych. Podobnie nie ma on czynników liniowych modulo 2 lub 3.

Wielomian f(x) rozkłada się na (x^2 + x + 1)(x^3 + x^2 + 1) modulo 2, co oznacza, że jej grupą Galois modulo 2 jest grupa cykliczna rzędu 6.

Ponieważ f(x) nie ma czynnika kwadratowego modulo 3, to jej grupa Galois modulo 3 ma rząd 5.

Wiadomo[4], że grupa Galois modulo liczba pierwsza jest izomorficzna z podgrupą grupy Galois nad liczbami wymiernymi. Grupa permutacji pięciu obiektów o operacjach rzędów szóstego i piątego musi być grupą symetryczną S_5, która to musi być grupą Galois f(x). Jest to jeden z prostszych przykładów nierozwiązywalnego wielomianu piątego stopnia. Serge Lang twierdził, że Artin szczególnie lubił ten przykład.

Odwrotne zagadnienie Galois[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: odwrotne zagadnienie Galois.

Wszystkie grupy skończone mogą wystąpić jako grupy Galois. Można podać konstrukcje rozszerzenia ciała z daną grupą skończoną jako grupą Galois rozszerzenia, o ile nie wskaże się uprzednio ciała wyjściowego.

Należy więc wskazać ciało K oraz grupę skończoną G. Twierdzenie Cayleya mówi, że G jest (z dokładnością do izomorfizmu) podgrupą grupy symetrycznej S elementów G. Wybrawszy niewiadome \{x_\alpha\}, po jednej dla każdego elementu \alpha grupy G, dołącza się je do ciała K, aby uzyskać ciało F = K\bigl(\{x_\alpha\}\bigr). Ciało F zawiera ciało L symetrycznych funkcji wymiernych zmiennych \{x_\alpha\}. Grupą Galois rozszerzenia F/L jest S, co wynika z podstawowego wyniku Emila Artina. Grupa G działa na F poprzez zawężenie działania grupy S. Jeżeli M jest ciałem stałym tego działania, to z podstawowego twierdzenia teorii Galois wynika, że G jest grupą Galois F/M.

Otwartym problemem jest dowiedzenie istnienia rozszerzenia ciała liczb wymiernych \mathbb Q dla danej grupy skończonej jako jego grupy Galois. Hilbert brał udział w rozwiązywaniu problemu dla wszystkich grup symetrycznych i alternujących. Igor Shafarevich dowiódł, że każda rozwiązalna grupa skończona jest grupą Galois pewnego rozszerzenia \mathbb Q. Rozwiązano odwrotny problem Galois dla wybranych nieabelowych grup prostych. Wykazano istnienie rozwiązań dla wszystkich poza co najwyżej jedną (grupą Mathieu M23) z 26 sporadycznych grup prostych. Istnieje nawet wielomian o współczynnikach całkowitych, którego grupą Galois jest grupa Monster.

Przypisy

  1. Odpowiednie rozszerzenie ciała, zwykle liczb wymiernych, powstaje przez dołączenie do niego współrzędnych konstruowanych punktów; konstrukcja jest wykonalna, gdy grupa Galois jest 2-grupą.
  2. W szczególności umożliwiło to na przejrzyste uzasadnienie obserwacji Carla Friedricha Gaussa, że wielokąt foremny o n bokach można zbudować za pomocą cyrkla i liniału, gdy w rozkładzie n na czynniki pierwsze występują tylko: \scriptstyle 2 (w dowolnej potędze) i różne liczby pierwsze Fermata (w pierwszej potędze).
  3. Funkhouser (1930)
  4. V.V. Praslov, Polynomials. (2004), twierdzenie 5.4.5(a)

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Samouczki on-line dotyczące teorii Galois można znaleźć na:

Podręczniki online w językach francuskim, niemieckim, włoskim i angielskim znajdują się na: