Teoria miary

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Teoria miary – dziedzina matematyki, zwykle uważana za dział analizy matematycznej, która zajmuje się szeroko pojętymi własnościami miar zbiorów, czyli funkcji przypisującym pewnym „porządnym” zbiorom (zazwyczaj nieujemne) wartości rzeczywiste. Za początek tej dziedziny, znanej też jako teoria miary i całki, uważa się 1902 rok, w którym Henri Lebesgue zaproponował swoją konstrukcję całki opartej na rozszerzeniu dotychczas stosowanego pojęcia miary.

W zastosowaniach najczęściej mierzy się podzbiory przestrzeni euklidesowych; bywa, iż niektórym jednak podzbiorom (bardzo „nieporządnym”) nie można przypisać wartości w spójny sposób z zachowaniem pożądanych intuicji (klasycznym przykładem jest tzw. zbiór Vitalego). W związku z tym przyjmuje się, że miara ograniczona będzie do części z nich (tych „porządnych”), mianowicie należących do tzw. przestrzeni mierzalnej określonej na danej przestrzeni (jeśli jest to przestrzeń topologiczna, to zwykle wymaga się, by mierzalne były zbiory otwarte; wówczas do zbiorów mierzalnych należą m.in. zbiory borelowskie).

Rozwój tego działu pozostaje w ścisłym związku z rozwojem rachunku prawdopodobieństwa, co związane jest z podaniem przez Andrieja Kołmogorowa w 1933 roku aksjomatycznej definicji prawdopodobieństwa (która zastąpiła stosowaną wcześniej definicję klasyczną Pierre'a Simona de Laplace'a i definicję częstościową Richarda von Misesa; zob. prawdopodobieństwo). W interpretacji tej zdarzenia losowe są podzbiorami pewnej przestrzeni probabilistycznej, z kolei prawdopodobieństwo jest miarą określoną na tej przestrzeni nazywaną również miarą probabilistyczną (miarą prawdopodobieństwa).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]