Test Craméra-von Misesa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Test Craméra-von Misesa – jeden z testów statystycznych zgodności rozkładu z zadanym rozkładem wzorcowym lub drugą próbą. Zwykle stosuje się go do sprawdzenia zgodności z rozkładem normalnym. Wynaleziony przez Haralda Craméra i Richarda von Mises, którzy zaproponowali go w latach 1928-1930.

Statystyka Craméra-von Misesa[edytuj | edytuj kod]

Wersja dla jednej próby i rozkładu wzorcowego[edytuj | edytuj kod]

W^2=n\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(F_n(x)-F(x))^2 dF(x)

gdzie:

Zwykle do obliczeń używany jest prostszy wzór:

W^2=\frac{1}{12n}+\sum\limits_{i=1}^n\left( F(X_{(i)})-\frac{2i-1}{2n}\right)^2

gdzie:

  • X_{(i)} to i-ta zaobserwowana wartość w próbie uporządkowanej rosnąco
  • F(x)\; to dystrybuanta rozkładu wzorcowego
  • n\; to liczność próby

Wersja dla dwóch prób[edytuj | edytuj kod]

Niech x_1,x_2,\dots,x_n i y_1,y_2,\dots,y_m będą obserwowanymi wartościami w pierwszej i drugiej próbie posortowane rosnąco. Niech r_1,r_2,\dots,r_n będą rangami obserwacji x_i w połączonej próbie (X i Y rangowane razem) i niech s_1,s_2,\dots,s_m będą rangami obserwacji y_i w połączonej próbie.

Wówczas

W^2 = \frac{U}{n m (n+m)}-\frac{4 m n - 1}{6(m+n)}

gdzie:

U = n \sum_{i=1}^n (r_i-i)^2 + m \sum_{j=1}^m (s_j-j)^2

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

Test ma lepsze właściwości niż test Kołmogorowa-Smirnowa, lecz jest stosunkowo nieczuły na odstępstwa od rozkładu w punktach dalekich od średniej ("ogony" rozkładu). W celu eliminacji tej wady powstała jego modyfikacja, zwana testem Andersona-Darlinga.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • pomoc do programu SAS 9.1 autorstwa SAS Institute Inc.
  • Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. Warszawa: WNT, 2001, s. 254.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

  • Anderson: 'On the Distribution of the Two-Sample Cramer-von Mises Criterion', Annals Math. Stat. 33, #3 (1962), p1148-1159. [1]
  • Xiao, Gordon, Yakovlev: 'A C++ program for the Cramér-von-Mises two sample test', Journal of Statistical Software, 17 #8, styczeń 2007 [2]