Test Millera-Rabina

Test Millera-Rabina jest testem pierwszości, czyli algorytmem określającym czy dana liczba jest pierwsza. Podobnie jak test Fermata i test Solovaya-Strassena jest testem probabilistycznym, wymagającym stosowania liczb losowych. Oryginalna wersja tego algorytmu (Millera) została zaprojektowana jako algorytm deterministyczny, jednak jej poprawność zależy od nieudowodnionej dotychczas uogólnionej hipotezy Riemanna. Michael O. Rabin zmodyfikował ten algorytm do postaci randomizacyjnej i dowiódł jego poprawności w tej postaci.

Algorytm i czas działania

Algorytm można zapisać w następującej postaci:

Wejście: $n > 1$: nieparzysta liczba naturalna do przetestowania; $k$: parametr określający dokładność testu

Wyjście: złożona jeśli $n$ jest złożona, prawdopodobnie pierwsza jeśli nie uda się stwierdzić złożoności

wylicz maksymalną potęgę dwójki dzielącą $n-1$ i przedstaw $n-1$ jako $2^s \cdot d$;

powtórz $k$ razy:

wybierz $a$ losowo ze zbioru $\{ 1,2,\dots, n - 1\}$

jeśli $a^d \not\equiv 1\ \bmod\ n$ i $a^{{2^r}d} \not\equiv\ -1\ \bmod\ n$ dla wszystkich $r$ ze zbioru $\mathbb Z_s=\{ 0,1,2,\dots, s - 1\}$, zwróć wynik złożona

zwróć wynik prawdopodobnie pierwsza

Używając algorytmu szybkiego potęgowania możemy tę procedurę przeprowadzić w czasie O(k × log³ n), gdzie k jest liczbą różnych wartości a które testujemy.

Dowód poprawności

Poprawność tego algorytmu opiera się na następujących dwóch twierdzeniach:

Twierdzenie 1

Załóżmy, że $n$ jest liczbą pierwszą oraz, że $a\in\mathbb{Z}_n^\star$. Niech dalej $d=(n-1)/2^s$, gdzie $s=\max\{j:\;2^j|(n-1)\}$. Wówczas albo $a^d\equiv1 \pmod n$, albo istnieje $r\in\mathbb Z_s$, dla którego $a^{2^r\cdot d}\equiv-1\pmod n$^{[potrzebne źródło]}.

Liczbę $a\in\mathbb Z_n^\star$, która nie spełnia warunków powyższego twierdzenia nazywa się świadkiem złożoności liczby $n$

Twierdzenie 2

Jeśli $n\ge3$ jest nieparzystą liczbą złożoną, to w zbiorze $\mathbb Z_n^\star$ jest co najwyżej $(n-1)/4$ liczb nie będących świadkami jej złożoności^{[potrzebne źródło]}.

Przykład

Załóżmy, że chcemy określić, czy liczba n = 221 jest pierwsza. Zapiszemy n − 1 = 220 w postaci 2²·55, czyli s = 2 oraz d = 55. Losowo wybieramy liczbę a < n. Załóżmy, że wylosowaliśmy a = 174. Obliczamy:

• a^20·d mod n = 174⁵⁵ mod 221 = 47 ≠ 1, n − 1
• a^21·d mod n = 174¹¹⁰ mod 221 = 220 = n − 1.

Ponieważ 220 ≡ −1 mod n, albo liczba 221 jest pierwsza, albo 174 jest fałszywym świadkiem dla 221. Spróbujemy inną losową wartość a, tym razem a = 137:

• a^20·d mod n = 137⁵⁵ mod 221 = 188 ≠ 1, n − 1
• a^21·d mod n = 137¹¹⁰ mod 221 = 205 ≠ n − 1.

A zatem 137 jest świadkiem złożoności 221, a 174 jest faktycznie fałszywym świadkiem. W tym przypadku test pozwala także dokonać rozkładu liczby:

• NWD(137-1,221) = 17
• 221 / 17 = 13
• zatem 221 = 17 * 13

Dokładność testu i wersje deterministyczne

Można pokazać że dla dowolnej złożonej nieparzystej liczby naturalnej n co najmniej 3/4 możliwych wartości a jest dobrymi świadkami złożoności tej liczby. Jeśli zatem przeprowadzamy k losowych prób, prawdopodobieństwo że określimy liczbę złożoną jako pierwszą wynosi co najwyżej $4^{-k}$.

Istnieją deterministyczne wersje tego testu, jednak w ogólności są znacznie wolniejsze od niego i nie mają zastosowania praktycznego. Dla małych n udowodniono, że można test przeprowadzić znacznie szybciej:

• jeśli n < 4,759,123,141, wystarczy sprawdzić a = 2, 7 i 61,
• jeśli n < 341,550,071,728,321, wystarczy sprawdzić a = 2, 3, 5, 7, 11, 13 i 17.

(inne tego typu kryteria opisane są w [1], [2])

Daje to bardzo szybki deterministyczny test pierwszości dla liczb z tego zakresu, bez żadnych dodatkowych założeń. Udowodniono jednak, że żaden skończony zbiór a nie wystarcza do testowania wszystkich liczb złożonych.

Linki zewnętrzne

• MathWorld – Rabin-Miller Strong Pseudoprime Test