Test Wilcoxona dla par obserwacji

Test Wilcoxona dla par obserwacji jest nieparametryczną alternatywą dla testu t-Studenta dla przypadku dwóch równolicznych próbek dających się połączyć w pary. Często używa się tego testu do porównywania danych zebranych przed i po eksperymencie, w celu zbadania, czy nastąpiła istotna statystycznie zmiana.

Porównanie z testem t-Studenta

O ile test t-Studenta sprawdza hipotezę zerową o równości średnich arytmetycznych w odpowiadających im populacjach, test Wilcoxona weryfikuje równość median.

Tak jak test t-Studenta, test Wilcoxona bazuje na różnicach pomiędzy wartościami cech z porównywanych zbiorów, stąd również wymaga zmiennych na skali interwałowej. W przeciwieństwie jednak do testu t-Studenta, nie posiada założeń dotyczących rozkładu próby. Może zatem być używany w sytuacjach, gdy założenia testu t-Studenta nie są spełnione.

Dane

Załóżmy, że zebraliśmy $2n$ obserwacji, po dwie dla każdego z n przypadków. Niech $i$ będzie indeksem danego przypadku, $x_i$ będzie pierwszą, a $y_i$ drugą obserwacją przypadku $i$.

Założenia

1. Niech $d_i=y_i-x_i\;$ dla $i=1\dots n\;$. Zakłada się, że różnice $d_i\;$ są niezależne.
2. Każda różnica $d_i\;$ pochodzi z populacji o identycznym ciągłym rozkładzie, symetryczny względem wspólnej mediany $\theta\;$

Wyliczanie statystyki Wilcoxona

Testowaną hipotezą zerową jest:

$H_0: \theta=0\;$

Algorytm wyliczania statystyki testu Wilcoxona:

• Wyliczenie różnic $d_i$
• Uporządkowanie wartości bezwzględnych $|d_1|,\dots |d_n|$
• Rangowanie tak otrzymanego zbioru. Oznaczamy rangi przez $R_i$. Rangi związane uzyskują wartość średnią (zob. ranga).
• Statystyka $W^{+}$ jest zdefiniowana jako suma rang $R_i$ dla których $d_i>0$

Niekiedy wykonuje się dalsze kroki:

• Analogicznie obliczana jest statystyka $W^{-}$, czyli suma rang dla których $d_i<0$
• Statystyka $S$ jest obliczana jako:

$S=min(W^{+},W^{-})\;$

Właściwości statystyki Wilcoxona

Właściwości statystyki $W^{+}$:

• wartość oczekiwana:

$\mathbb{E}W^{+}=\frac{n(n+1)}{4}$

• wariancja:

$\operatorname{Var}\ W^{+}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{24}$

• Dla dowolnej liczby $t\;$:

$\operatorname{P}\left( \frac{W^{+}-\mathbb{E}W^{+}}{\sqrt{Var\ W^{+}}}\leqslant t\right) \rightarrow \Phi(t)$ gdy $n\rightarrow \infty$

Do obliczenia p-wartości dla prób o małej liczności (zwykle przyjmuje się $n\leqslant 20$) korzysta się z tablic statystycznych. Dla dużych prób, używa się przybliżenia rozkładem normalnym, z parametrami podanymi powyżej.

Historia

Twórcą testu był Frank Wilcoxon (1892–1965), który zaproponował go w jednym artykule (Wilcoxon, 1945) z innym testem, zwanym obecnie testem Manna-Whitneya-Wilcoxona.

Test Wilcoxona był spopularyzowany przez Siegla (1956) w jego wpływowym podręczniku statystyki nieparametrycznej. Siegel używał symbolu $T$ dla wielkości oznaczanej powyżej przez $S$. W konsekwencji test czasami jest nazywany testem T Wilcoxona, a statystyka testowa jest podawana jako wartość $T$.

Zobacz też

• test t-Studenta
• test Manna-Whitneya-Wilcoxona (wersja dla dwóch próbek)
• test znaków

Bibliografia

• Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych. Warszawa: WNT, 2001, s. 467-471.
• Sidney Siegel: Non-parametric statistics for the behavioral sciences. Nowy York: McGraw-Hill, 1956.
• Frank Wilcoxon: Individual comparisons by ranking methods. Biometrics, 1945, s. 1, 80-83.

Linki zewnętrzne

• Metoda wyliczania p dla testu Wilcoxona (ang.)
• Przykład zastosowania testu Wilcoxona (ang.)
• Wersja testu online (ang.)

Implementacje

• ALGLIB zawiera implementację testu Wilcoxona w C++, C#, Delphi, Visual Basicu, itp.