Tetracja

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
\lim_{n\rightarrow \infty} x^{\frac{n}{}} Nieskończona wieża wykładnicza dla podstawy (e^{-1})^e \le x \le e^{e^{-1}})

Tetracja (znana też jako iterowane potęgowanie, superpotęgowanie, wieża wykładnicza lub hiper-4) – działanie dwuargumentowe będące uogólnieniem wielokrotnego potęgowania elementu przez siebie.

Słowo tetracja wymyślił angielski matematyk Reuben Louis Goodstein łącząc tetra- (cztery) i iteracja. W praktyce tetracja jest używana do zapisu bardzo dużych liczb. Poniżej przedstawione są pierwsze cztery hiperoperatory:

  1. dodawanie
    a + n = a+\underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_n
    a powiększone o 1 n razy.
  2. mnożenie
    a \times n = \underbrace{a + a + \cdots + a}_n
    a dodane do siebie n razy.
  3. potęgowanie
    a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_n
    a pomnożone przez siebie n razy.
  4. tetracja
    {^{n}a} = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}_n
    a potęgowane przez siebie n razy.

gdzie każda operacja jest zdefiniowana przez iterowanie poprzedniej.

W odróżnieniu od pierwszych trzech działań dla tetracji nie ustalono uogólnienia wartości n na zespolone, ponadto tetracja nie jest uznawana za funkcję elementarną.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej  a > 0 i nieujemnej liczby całkowitej  n \ge 0 definiujemy \,\! {^{n}a} jako:


  {^{n}a}=\begin{cases}
    1 & \mbox{ jeśli }n=0 \\
    a^{(^{n-1}a)} & \mbox{ jeśli }n> 0
   \end{cases}

Iterowane potęgowanie[edytuj | edytuj kod]

Jak widać z definicji, kiedy wyliczamy tetrację wyrażoną jako "wieża potęgowania", potęgowanie rozpoczyna się w najgłębszym poziomie (w zapisie na najwyższym poziomie). Innymi słowy:

\,\!\ ^{4}2 = 2^{2^{2^2}} = 2^{\left(2^{\left(2^2\right)}\right)} = 2^{\left(2^4\right)} = 2^{16} = 65536

Należy pamiętać, że potęgowanie nie jest łączne, czyli obliczanie wyrażenia w odwrotnej kolejności prowadzi do innego wyniku:

\,\! 2^{2^{2^2}} \ne \left({\left(2^2\right)}^2\right)^2 = 2^{2 \cdot 2 \cdot2} = 256

Z tego powodu, wyrażenia te muszą być obliczane z góry do dołu (lub od prawej do lewej).

Terminologia[edytuj | edytuj kod]

Istnieje wiele określeń dla tetracji, z których każdy ma swoje logiczne uzasadnienie, lecz nie stały się powszechne z różnych powodów. Poniżej jest zestawienie każdego terminu z uzasadnieniem za i przeciw.

  • Termin tetracja, wprowadzony przez Goodsteina w 1947 roku w publikacji Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory[1] (uogólniające rekursywne reprezentacje podstawowe użyte w twierdzeniu Goodsteina do zastowania w wyższych operacjach), zdobył dominującą pozycję. Także termin ten spopularyzował Rudy Rucker w pracy en:Infinity and the Mind.
  • Termin superpotęgowanie został opublikowany przez Bromera w Superexponentiation w 1987[2]. Terminu tego używał wcześniej Ed Nelson w swojej książce Predicative Arithmetic, Princeton University Press, 1986.
  • Termin hiperpotęgowanie[3] jest naturalnym złożeniem hiper i potęgowanie, który trafnie opisuje tetrację. Problem tkwi w znaczeniu hiper w odniesieniu do hierachii hiper operatorów. Rozważając hiper operatory, termin hiper odnosi się do wszystkich pozycji, a termin super odnosi się do pozycji 4, lub tetracji. Wobec tych rozważań hiperpotęgowanie jest mylące, gdyż odnosi się tylko do tetracji.
  • Termin wieża wykładnicza[4] jest używany sporadycznie, w postaci "wieża wykładnicza rzędu n" dla {\ \atop {\ }} {{\underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}} \atop n}

Tetracja jest często mylona z blisko powiązanymi funkcjami i wyrażeniami. To dlatego, że wiele terminologii przez nie używanej może być zastosowane w tetracji. Oto kilka powiązanych terminów:

Forma Terminologia
a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^a}}}} Tetracja
a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}} Iterowana funkcja wykładnicza
a_1^{a_2^{\cdot^{\cdot^{a_n}}}} Zagnieżdżone potęgowanie (także wieże)
a_1^{a_2^{a_3^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}} Nieskończone potęgowanie (także wieże)

W pierwszym wyrażeniu a jest podstawą, a ilość pojawiania się a jest wysokością. W trzecim wyrażeniu, n jest wysokością, lecz każda podstawa jest inna.

Należy zachować ostrożność przy powoływaniu się na iterowane potęgowanie, jako że taka forma zapisu wyrażeń nie jest jednoznaczna.

Notacja[edytuj | edytuj kod]

Sposoby zapisu tetracji (niektóre z nich pozwalają nawet na wyższy poziom iteracji) obejmują:

Nazwa Forma Opis
Zapis standardowy \,{}^{n}a Używany przez Maurera [1901] i Goodsteina [1947]; Zapis spopularyzował Rudy Rucker w książce en:Infinity and the Mind.
Notacja strzałkowa Knutha a {\uparrow\uparrow} n Pozwala na rozszerzenie przez dodanie większej ilości strzałek lub, jeszcze silniej, indeksowanych strzałek.
Zapis łańcuchowy strzałek Conwaya a \rightarrow n \rightarrow 2 Pozwala na rozszerzenie przez zwiększenie liczby 2 (odpowiednik rozszerzenia powyżej), lecz także jeszcze silniej, przez wydłużenie łańcucha strzałek.
Funkcja Ackermanna {}^{n}2 = \operatorname{A}(4, n - 3) + 3 Pozwala w szczególnym przypadku a=2 na zapis z punktu widzenia funkcji Ackermanna.
Iterowany zapis wykładniczy {}^{n}a = \exp_a^n(1) Pozwala na łatwe rozszerzenie do iterowanych potęg dla wartości początkowych innych niż 1.
Zapis Hooshmand[5] \operatorname{uxp}_a n, \,  a^{\frac{n}{}}
Zapis hiper operator a^{(4)}n, \, \operatorname{hyper}_4(a,n) Pozwala na rozszerzenie przez zwiększenie liczby 4; co daje rodziny hiper operacji.
Zapis ASCII a^^n Ponieważ strzałka jest używana identycznie jak daszek (^), operator tetracji może zostać zapisany jako (^^).

Jeden z zapisów powyżej używa iterowanego zapisu wykładniczego, który w ogólności jest zdefiniowana następująco:

\exp_a^n(x) = a^{a^{\cdot^{\cdot^{a^x}}}} gdzie "a" występuje n razy.

Nie ma wiele zapisów dla iterowanego potęgowania, ale oto kilka z nich:

Nazwa Forma Opis
Standardowy \exp_a^n(x) Euler stworzył zapis \exp_a(x) = a^x, a iteracyjny zapis f^n(x) istnieje równie długo.
Zapis strzałkowy Knutha (a{\uparrow})^n(x) Pozwala na super-potęgowanie i funkcje super-wykładnicze przez zwiększanie liczby strzałek.
Zapis Ioannis Galidakisa \,{}^{n}(a, x) Pozwala na duże wyrażenia w podstawie[6].
ASCII (pomocnicze) a^^n@x W oparciu o pogląd, że powtórzony wykładnik jest pomocniczą tetracją.
ASCII (standard) exp_a^n(x) Na podstawie standardowego zapisu.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

W poniższej tabeli, większość wartości jest zbyt duża by je zapisać w notacji naukowej, więc zastosowano iterowany zapis wykładniczy aby je wyrazić w podstawie 10. Wartości zawierające przecinek dziesiętny są przybliżone.

x {}^{2}x {}^{3}x {}^{4}x
1 1 1 1
2 4 16 65 536
3 27 7 625 597 484 987 \exp_{10}^3(1.09902)
4 256 \exp_{10}^2(2.18788) \exp_{10}^3(2.18726)
5 3125 \exp_{10}^2(3.33931) \exp_{10}^3(3.33928)
6 46 656 \exp_{10}^2(4.55997) \exp_{10}^3(4.55997)
7 823 543 \exp_{10}^2(5.84259) \exp_{10}^3(5.84259)
8 16 777 216 \exp_{10}^2(7.18045) \exp_{10}^3(7.18045)
9 387 420 489 \exp_{10}^2(8.56784) \exp_{10}^3(8.56784)
10 10 000 000 000 \exp_{10}^3(1) \exp_{10}^4(1)

Przypisy

  1. R. L. Goodstein. Transfinite ordinals in recursive number theory. „Journal of Symbolic Logic”. 12 (4), s. 123–129, 1947. doi:10.2307/2266486. 
  2. N. Bromer. Superexponentiation. „Mathematics Magazine”. 60 (3), s. 169–174, 1987. 
  3. J. F. MacDonnell. Somecritical points of the hyperpower function x^{x^{\dots}}. „International Journal of Mathematical Education”. 20 (2), s. 297–305, 1989. MR994348. 
  4. Eric W. Weisstein, „Power Tower” na MathWorld.
  5. M. H. Hooshmand,. Ultra power and ultra exponential functions. „Integral Transforms and Special Functions”. 17 (8), s. 549–558, 2006. doi:10.1080/10652460500422247. 
  6. Ioannis Galidakis: On Extending hyper4 and Knuth’s Up-arrow Notation to the Reals (ang.). [dostęp 2012-09-12]. [zarchiwizowane z adresu 2011-06-08].

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]