Tożsamość Czebyszewa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Tożsamość Czebyszewa to następująca równość:

\sum_{i=1}^n a_i\sum_{i=1}^n b_i = n\sum_{i=1}^n a_i b_i-\sum_{i=1}^n\sum_{k=i+1}^n (a_i-a_k)(b_i-b_k)

Jej nazwa pochodzi od nazwiska rosyjskiego matematyka Czebyszewa.

Jeżeli założyć, że (a_i-a_k)(b_i-b_k)\geqslant 0, to otrzymuje się stąd następującą nierówność, zwaną często nierównością Czebyszewa:

n\sum_{i=1}^n a_i b_i\geqslant\sum_{i=1}^n a_i\sum_{i=1}^n b_i

W szczególności, nierówność Czebyszewa zachodzi, gdy a_1\geqslant a_2\geqslant a_3\geqslant\dots \geqslant a_n oraz b_1\geqslant b_2\geqslant b_3\geqslant\dots \geqslant b_n.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]