Tożsamość Lagrange’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Tożsamość Lagrange'a to następująca równość:

\sum_{1\le i<k\le n}(a_i b_k - a_k b_i)^2 = \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)-\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2

To samo, lecz inaczej:

\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{k=i+1}^n(a_i b_k - a_k b_i)^2 = \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right)-\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2

Nazwa równości pochodzi od znakomitego matematyka francuskiego Lagrange'a.

Jeśli zauważyć, że lewa strona tej równości jest zawsze nieujemna, z tożsamości Lagrange'a natychmiast otrzymujemy klasyczną nierówność Schwarza.

Tożsamość Lagrange'a w algebrze zewnętrznej[edytuj | edytuj kod]

W terminach iloczynu zewnętrznego, tożsamość Lagrange'a można zapisać jako

(a \cdot a)(b \cdot b) - (a \cdot b)^2 = (a \wedge b) \cdot (a \wedge b).

Można ją więc postrzegać jako wzór wyrażający długość wektora – iloczynu zewnętrznego dwu wektorów (równą polu równoległoboku rozpiętego na tych wektorach) w terminach iloczynu skalarnego tych wektorów:

\|a \wedge b\| = \sqrt{(\|a\|\ \|b\|)^2 - \|a \cdot b\|^2}.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]