Tożsamość polaryzacyjna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Tożsamość polaryzacyjna lub wzór polaryzacyjny – wzór będący odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia dla elementów rzeczywistych przestrzeni unitarnych.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Jeśli x i y są elementami rzeczywistej przestrzeni unitarnej X, to prawdziwy jest następujący wzór, nazywany tożsamością polaryzacyjną:

\|  x +   y\|^2 = \|  x\|^2 + \|  y\|^2 + 2\langle   x,   y\rangle.
(1)

Zastępując w równaniu (1)   y przez -  y otrzymuje się wzór

\|  x -   y \|^2 = \|  x\|^2 + \|  y\|^2 - 2\langle   x,   y \rangle,
(2)

co odpowiada równości występującej w twierdzeniu cosinusów.

Dodanie równań (1) oraz (2) daje

\|  x +   y\|^2 + \|  x -   y\|^2 = 2\|  x\|^2 + 2\|  y\|^2,

co odpowiada tożsamości równoległoboku.

Z kolei odejmując stronami (2) od (1) dostaje się

\|  x +   y\|^2 - \|  x -   y\|^2 = 4\langle   x,   y\rangle.

Warto zauważyć analogie powyższych wzorów do następujących wzorów skróconego mnożenia: równanie (1) odpowiada (3), a równanie (2) odpowiada (4), a powyższa suma (1) oraz (2) poniżej sumie (3) i (4). Tożsamość (1) jest odpowiednikiem wzoru na kwadrat dwumianu:

(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab,\;
(3)

z kolei w (2), podobnie jak wyżej, zmieniono znak b:

(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab,\;
(4)

ostatecznie suma (3) i (4), to

(a + b)^2 + (a - b)^2 = 2 a^2 + 2 b^2\;.

Wyprowadzenie[edytuj | edytuj kod]

Każdą przestrzeń unitarną da się w naturalny sposób wyposażyć w normę, daną wzorem

\|  x\| = \sqrt{\langle   x,   x\rangle}.
(5)

Iloczyn skalarny

\langle   x +   y,   x +   y\rangle = \langle   x +   y,   x\rangle + \langle   x +   y,   y\rangle

jest wynikiem rozdzielności pierwszego czynnika względem sumy drugiego składnika, która zachodzi ze względu na liniowość iloczynu skalarnego. Rozdzielność kolejnych czynników względem sum pierwszych czynników po prawej stronie powyższego równania daje

\langle   x +   y,   x +   y\rangle = \langle   x,   x\rangle + \langle   y,   x\rangle + \langle   x,   y\rangle + \langle   y,   y\rangle

a ponieważ iloczyn skalarny jest przemienny, to równanie to upraszcza się dalej do

\langle   x +   y,   x +   y\rangle = \langle   x,   x\rangle + \langle   y,   y\rangle + 2\langle   x,   y\rangle.
(6)

Przyłożenie definicji normy z równania (5) do (6) daje równanie (1), czyli tożsamość polaryzacyjną.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Tożsamości mogą być uogólnione na wielomiany jednorodne (tj. formy algebraiczne) dowolnego stopnia.