Tożsamości trygonometryczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Tożsamości trygonometryczne – podstawowe zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi.

Tożsamości pitagorejskie[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: jedynka trygonometryczna.

Wzór

\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \,,

jest prawdziwy dla dowolnej liczby rzeczywistej (a nawet zespolonej, przy przyjęciu ogólniejszych definicji). Tożsamość ta uznawana jest za podstawową tożsamość trygonometryczną. Zwana często jedynką trygonometryczną bądź trygonometrycznym twierdzeniem Pitagorasa. Istnieją również dwie inne wariacje tego wzoru:

 \sec^2 x - \mbox{tg}^2 x = 1\;
 \csc^2 x - \mbox{ctg}^2 x = 1\;

Okresowość funkcji[edytuj | edytuj kod]

Funkcje trygonometryczne są okresowe (k \in \mathbb{Z}):

\begin{array}{l l}\sin x = \sin(x + 2k \pi) & \mbox{tg }  x = \mbox{tg } (x + k \pi) \\\cos x = \cos(x + 2k \pi) & \mbox{ctg }  x = \mbox{ctg } (x + k \pi)\end{array}

Definicje tangensa i cotangensa[edytuj | edytuj kod]

\mbox{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x}
\mbox{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}

Przedstawienia przy pomocy funkcji cosinus[edytuj | edytuj kod]

|\sin x| = \sqrt {1- \cos^2 x}
|\mbox{tg } x| = \frac{|\sin x|}{|\cos x|} = \frac {\sqrt {1- \cos^2 x}} {|\cos x|}
|\mbox{ctg } x| = \frac{|\cos x|}{|\sin x|} = \frac {|\cos x|} {\sqrt {1- \cos^2 x}}

Przedstawienia przy pomocy funkcji sinus[edytuj | edytuj kod]

|\cos x| = \sqrt {1- \sin^2 x}
|\mbox{tg } x| = \frac{|\sin x|}{|\cos x|} = \frac {|\sin x|} {\sqrt {1- \sin^2 x}}
|\mbox{ctg } x| = \frac{|\cos x|}{|\sin x|} = \frac {\sqrt {1- \sin^2 x}} {|\sin x|}

Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych[edytuj | edytuj kod]

\begin{array}{l l}\sin (-x) = -\sin(x) & \mbox{tg }(-x) = -\mbox{tg } x \\\cos (-x) = \cos x & \mbox{ctg }  (-x) = -\mbox{ctg } x\end{array}

Zależności pomiędzy funkcjami a kofunkcjami[edytuj | edytuj kod]

Równości

\begin{array}{l l}\sin x = \cos (\frac{\pi}{2} - x) & \cos x = \sin (\frac{\pi}{2} - x) \\\mbox{tg } x = \mbox{ctg } (\frac{\pi}{2} -x) & \mbox{ctg } x = \mbox{tg } (\frac{\pi}{2} - x)\\
\sec x = \csc (\frac{\pi}{2} - x) & \csc x = \sec (\frac{\pi}{2} - x)
\end{array}

nazywa się związkami pomiędzy funkcjami a ich kofunkcjami. Kofunkcją sinusa jest cosinus, cosinusa sinus, tangensa cotangens itd.

Odwrotności[edytuj | edytuj kod]

Funkcje trygonometryczne można układać w pary według kofunkcji lub według odwrotności. Odwrotnością sinusa jest cosecans, cosinusa secans, tangensa cotangens (i oczywiście na odwrót):

\begin{array}{l l}\sin x= \frac{1}{\csc x} & \csc x= \frac{1}{\sin x} \\
\\
\cos x= \frac{1}{\sec x} & \sec x= \frac{1}{\cos x} \\
\\
\mbox{tg } x= \frac{1}{\mbox{ctg }x} & \mbox{ctg } x= \frac{1}{\mbox{tg }x}\end{array}

Funkcje sumy i różnicy kątów[edytuj | edytuj kod]

\sin (x \pm y) = \sin x \cdot \cos y  \pm \cos x \cdot \sin y \,
\cos (x \pm y) = \cos x \cdot \cos y  \mp \sin x \cdot \sin y \,
\mbox{tg } (x \pm y) = \frac{\mbox{tg } x \pm \mbox{tg } y}{1 \mp \mbox{tg } x \cdot \mbox{tg } y}
\mbox{ctg } (x \pm y) = \frac{\mbox{ctg } x \cdot \mbox{ctg } y \mp 1}{\mbox{ctg } y \pm \mbox{ctg } x}

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Na mocy wzoru Eulera: e^{xi}=\cos x+i \sin x oraz e^{yi}=\cos y+i \sin y; wymnożenie obu równości stronami daje: e^{i\left(x+y\right)}=\cos x\cdot\cos y-\sin x\cdot \sin y+i\left( \sin x\cos y+\cos x\sin y\right). Z drugiej strony, znów na mocy wzoru Eulera: e^{i\left(x+y\right)}=\cos(x+y)+i\sin(x+y). Porównanie części rzeczywistych i urojonych odpowiednich stron daje dwa pierwsze wzory. Dwa kolejne wynikają z poprzednich, jeżeli wyrazić \mbox{tg} i \mbox{ctg} przez \sin i \cos.

Funkcje wielokrotności kątów[edytuj | edytuj kod]

Wzory na dwukrotność kąta otrzymuje się przez podstawienie y= x we wzorach na funkcje sumy kątów.

\sin (2 x) = 2 \sin x \cdot \cos x \,
\left.\cos (2 x) = \cos^2x - \sin^2 x = 1 - 2 \sin^2 x = 2\cos^2x - 1 \right.
\mbox{tg } (2 x) = \frac{2 \mbox{tg } x}{1 - \mbox{tg }^2 x}
\mbox{ctg } (2 x) = \frac{\mbox{ctg } x - \mbox{tg } x}{2} = \frac{\mbox{ctg }^2 x - 1}{2 \mbox{ctg } x}
\sin (3 x) = 3 \sin x  -  4 \sin^3 x \,
\cos (3 x) = 4\cos^3x - 3 \cos x \,
\mbox{tg } (3 x) = \frac{3 \mbox{tg } x - \mbox{tg }^3 x}{1 - 3\mbox{tg }^2 x}
\mbox{ctg } (3x) = \frac {\mbox{ctg }^3 x - 3 \mbox{ctg } x}{3 \mbox{ctg }^2 x -1}
\sin (4 x) = 8 \cos^3 x \sin x -  4 \cos x\sin x = 4 \cos^3x \sin x - 4\cos x \sin^3 x\,
\cos (4 x) = 8\cos^4x - 8 \cos^2 x+1 \ = 8\sin^4x - 8 \sin^2 x+1 = \cos^4x - 6cos^2x \sin^2x + \sin^4x \,
\mbox{tg } (4 x) = \frac{4 \mbox{tg } x - 4 \mbox{tg }^3 x}{1 - 6\mbox{tg }^2 x+\mbox{tg }^4 x}
\mbox{ctg } (4 x) = \frac{\mbox{ctg }^4 x - 6 \mbox{ctg }^2 x+1}{4\mbox{ctg }^3 x-4\mbox{ctg } x}

Ogólnie :

\sin (nx)=\sum^\infty_{i=0} (-1)^i\cdot{n\choose2i+1}\cos^{n-2i-1}x\sin^{2i+1}x=\sum^{\lfloor{n\over 2}\rfloor}_{i=0} (-1)^i\cdot{n\choose2i+1}\cos^{n-2i-1}x\sin^{2i+1}x=
=n\cos^{n-1} x \sin x-{n \choose 3}\cos^{n-3} x \sin^3 x+{n \choose 5}\cos^{n-5} x \sin^5 x-{n \choose 7}\cos^{n-7} x \sin^7 x+\dots
\cos (nx)=\sum^\infty_{i=0} (-1)^i\cdot{n\choose2i}\cos^{n-2i}x\sin^{2i}x=\sum^{\lfloor{n\over 2}\rfloor}_{i=0} (-1)^i\cdot{n\choose2i}\cos^{n-2i}x\sin^{2i}x=
=\cos^n x-{n \choose 2}\cos^{n-2} x \sin^2 x+{n \choose 4}n\cos^{n-4} x \sin^4 x-{n \choose 6}n\cos^{n-6} x \sin^6 x+\dots
\mbox{tg } (nx) = \sum_{i=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor } {n \choose 2i+1}\tan ^{2i+1} x\cdot (-1)^{i} \cdot \left(  \sum_{i=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor} {n \choose 2i}\tan ^{2i} x\cdot (-1)^i \right)^{-1}

Funkcje kąta połówkowego[edytuj | edytuj kod]

\left| \sin\frac{1}{2}x \right|=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}
\left| \cos\frac{1}{2}x \right|=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}
\left| \operatorname{tg}\frac{1}{2}x \right|=\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}
\operatorname{tg}\frac{1}{2}x =\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x}
\left| \operatorname{ctg}\frac{1}{2}x \right|=\sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}
\operatorname{ctg}\frac{1}{2}x=\frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1-\cos x}

Suma i różnica funkcji[edytuj | edytuj kod]

\sin x \pm \sin y = 2 \sin \frac {x \pm y} 2 \cdot \cos \frac {x \mp y } 2
\cos x + \cos y = 2 \cos \frac {x + y} 2 \cdot \cos \frac {x - y } 2
\cos x - \cos y = -2 \sin \frac {x + y} 2 \cdot \sin \frac {x - y } 2
\operatorname{tg}x\pm \operatorname{tg}y=\frac{\sin(x\pm y)}{\cos x\cos y}
\operatorname{tg}x+ \operatorname{ctg}y=\frac{\cos(x-y)}{\cos x\sin y}
\operatorname{ctg}x\pm \operatorname{ctg}y= \frac{\sin(y\pm x)}{\sin x\sin y}
\operatorname{ctg}x- \operatorname{tg}y=\frac{\cos(x+y)}{\sin x\cos y}
1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac x 2
1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac x 2
1 - \sin x = 2 \sin^2\left ( \frac{1}{4}\pi -\frac{1}{2} x\right) =2\cos^2\left(\frac{1}{4}\pi+\frac{1}{2}x\right)
1 + \sin x = 2 \cos^2\left ( \frac{1}{4}\pi -\frac{1}{2} x\right) =2\sin^2\left(\frac{1}{4}\pi+\frac{1}{2}x\right)

Iloczyn w postaci sumy[edytuj | edytuj kod]

\cos x \cdot \cos y = \frac{\cos (x - y) + \cos (x + y)} 2
\sin x \cdot \sin y = \frac{\cos (x - y) - \cos (x + y)} 2
\sin x \cdot \cos y = \frac{\sin (x - y) + \sin (x + y)} 2
\sin x \cdot \sin y \cdot \sin z = \frac{\sin(x+y-z)+\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)-\sin(x+y+z)} 4
\sin x \cdot \sin y \cdot \cos z = \frac{-\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)+\cos(x+y+z)} 4
\sin x \cdot \cos y \cdot \cos z = \frac{\sin(x+y-z)-\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)-\sin(x+y+z)} 4
\cos x \cdot \cos y \cdot \cos z = \frac{\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)+\cos(x+y+z)} 4

Potęgi w postaci sumy[edytuj | edytuj kod]

\sin^2 x = {1 - \cos(2x) \over 2}
\cos^2 x = {1 + \cos(2x) \over 2}
\sin^2 x \cos^2 x = {1 - \cos(4 x) \over 8} = {\sin^2(2x) \over 4}
\sin^3 x = \frac{3 \sin x - \sin(3 x)}{4}
\cos^3 x = \frac{3 \cos x + \cos(3 x)}{4}
\sin^4 x = \frac{\cos(4x) - 4\cos(2x)+3}{8}
\cos^4 x = \frac{\cos(4x) + 4\cos(2x)+3}{8}
\sin^2 x - \sin^2 y = \sin (x + y) \cdot \sin (x - y)

Funkcje trygonometryczne wyrażone przy pomocy tangensa połowy kąta[edytuj | edytuj kod]

\sin x=\frac{2 \mbox{tg}\frac{x}{2}}{1+\mbox{tg}^2\frac{x}{2}}


\cos x=\frac{1-\mbox{tg}^2\frac{x}{2}}{1+\mbox{tg}^2\frac{x}{2}},
\mbox{tg} x=\frac{2\mbox{tg}\frac{x}{2}}{1-\mbox{tg}^2\frac{x}{2}}

Powyższe tożsamości znalazły zastosowanie w tzw. podstawieniu uniwersalnym, stosowanym przy obliczaniu całek typu \int R(\sin x, \cos x, \mbox{tg} x)dx, gdzie R(u,v,w) jest funkcją wymierną zmiennych u,v,w. Stosuje się podstawienie:

\mbox{tg}\frac{x}{2}=t
x=2\operatorname{arctg}\;t+2k\pi
dx=\frac{2}{1+t^2}dt.

Wzory Eulera[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Wzór Eulera.
e^{ix} = \cos x + i\sin x\,
\sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}
\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}
\operatorname{tg} x = {e^{ix} - e^{-ix} \over (e^{ix} + e^{-ix})i}
\operatorname{ctg} x = {e^{ix} + e^{-ix} \over e^{ix} - e^{-ix}}i

Wzory te pozwalają łatwo przekształcać wyrażenia trygonometryczne, poprzez przejście na postać zespoloną (cztery ostatnie wzory), uproszczenie i powrót na postać trygonometryczną (pierwszy wzór).

Inne zależności między funkcjami trygonometrycznymi[edytuj | edytuj kod]

\mbox{tg}(x) + \sec(x) = \mbox{tg}\left({x \over 2} + {\pi \over 4}\right).

Wzór de Moivre'a

\cos(nx)+i\sin(nx)=(\cos(x)+i\sin(x))^n \qquad n \in \mathbb{N} \,

lub ogólniej:

[r(\cos(x)+i\sin(x))]^n=r^n (\cos(nx)+i\sin(nx)) \qquad n \in \mathbb{N} \,

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]