Topologia porządkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Topologia porządkowa - topologia wyznaczona przez porządek liniowy w pewnym zbiorze. Naturalnym przykładem topologii porządkowej jest prosta rzeczywista z topologią generowaną przez przedziały otwarte.

Konstrukcja[edytuj | edytuj kod]

Niech (X,\leqslant) będzie zbiorem co najmniej dwuelementowym liniowo uporządkowanym. Dla a,b\in X\, a<b określamy zbiory

  •  (a,b)=\{x\in X\colon\, a<x<b\},
  •  (\leftarrow, a)=\{x\in X\colon\, x<a\},
  •  (a,\rightarrow)=\{x\in X\colon\, a<x\},

które będziemy nazywać przedziałami. Rodzina wszystkich zbiorów tej postaci, spełnia warunki B1-B2, a więc wyznacza bazę pewnej topologii. Topologię tę nazywa się topologią przedziałową bądź topologią wyznaczoną przez rodzinę przedziałów.

Topologie porządkowe dolne i górne[edytuj | edytuj kod]

Oczywiście rodziny \{(\leftarrow, a)\colon\, a\in X\}, \{(a,\rightarrow)\colon\, a\in X\} również spełniają warunki B1-B2, ale wyznaczają inne topologie. Topologie te nazywamy topologiami porządkowymi, odpowiednio, dolną i górną.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeżeli zbiór liniowo uporządkowany w sposób gęsty zawiera przeliczalny podzbiór gęsty D oraz wprowadzimy w tym zbiorze topologię porządkową, to ma ona ciężar przeliczalny. Istotnie, poniższa rodzina przedziałów jest przeliczalną bazą tej topologii:
\mathcal{B}=\{\{(a,b)\colon\; a,b\in D\}\cup\{ (\leftarrow, a)\colon\; a\in D\}\cup \{(a,\rightarrow)\colon\; a\in D\}\} .

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]