Topologia produktowa

Topologia produktowa – w topologii i związanych z nią działach matematyki naturalna topologia, w którą wyposażona jest przestrzeń produktowa będąca iloczynem kartezjańskim rodziny przestrzeni topologicznych. Różni się ona od być może bardziej oczywistej topologii przedziałowej, również zadawanej na na przestrzeni produktowej, która pokrywa się z topologią produktową w przypadku produktu skończenie wielu przestrzeni. Topologię produktową uważa się jednak za „poprawną” dlatego, iż czyni ona z przestrzeni produktowej teoriokategoryjny produkt jej czynników, podczas gdy topologia przedziałowa jest zbyt uboga; w tym właśnie sensie topologia produktowa jest „naturalną” topologią przestrzeni produktowej.

Produkty skończenie wielu przestrzeni topologicznych rozważano niemal od początków topologii, jednak topologie produktów kartezjańskich dowolnych rodzin przestrzeni topologicznych zostały opisane po raz pierwszy przez rosyjskiego topologa Andrieja Tichonowa dopiero w 1930 roku. Z tego powodu inną nazwą topologii produktowej jest topologia Tichonowa.

Definicja

Dla przestrzeni

$X := \prod_{i \in I} X_i,$

będącej (być może nieskończonym) produktem kartezjańskim przestrzeni topologicznych $\scriptstyle X_i$ indeksowanych elementami pewnego zbioru $\scriptstyle I$ oraz rzutów kanonicznych $\scriptstyle p_i\colon X \to X_i$ topologią produktową określoną na $\scriptstyle X$ nazywa się najuboższą topologię (tzn. topologię o jak najmniejszej liczbie zbiorów otwartych), dla której wszystkie rzuty $\scriptstyle p_i$ są odwzorowaniami ciągłymi.

Zbiory otwarte w produkcie są sumami (skończonymi lub nieskończonymi) zbiorów postaci $\scriptstyle \prod U_i,$ gdzie $\scriptstyle U_i$ jest zbiorem otwartym w $\scriptstyle X_i,$ przy czym $\scriptstyle U_i \ne X_i$ tylko dla skończenie wielu elementów $i \in I.$

Topologia produktowa na $\scriptstyle X$ to topologia generowana przez zbiory postaci $\scriptstyle p_i^{-1}(U),$ gdzie $\scriptstyle i \in I,$ zaś $\scriptstyle U$ jest zbiorem otwartym w $\scriptstyle X_i.$ Innymi słowy zbiory postaci $\scriptstyle \left\{p_i^{-1}(U)\right\}$ tworzą podbazę topologii przestrzeni $\scriptstyle X.$ Podzbiór $\scriptstyle X$ jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest (być może nieskończoną) sumą przekrojów skończenie wielu zbiorów postaci $\scriptstyle p_i^{-1}(U).$ Zbiory $\scriptstyle p_i^{-1}(U)$ nazywa się czasami cylindrami otwartymi, a ich przekroje – zbiorami cylindrycznymi.

Bazę przestrzeni produktowej może być opisana za pomocą baz przestrzeni $\scriptstyle X_i.$ Składa się ona ze zbiorów $\scriptstyle \prod U_i,$ gdzie dla koskończenie wielu (wszystkich poza skończenie wieloma) $\scriptstyle i$ jest $\scriptstyle U_i = X_i$ (jest całą przestrzenią), a w przeciwnym wypadku jest to zwykły zbiór otwarty w $\scriptstyle X_i.$

W szczególności dla produktu skończonego (a więc przede wszystkim produktu dwóch przestrzeni) produkty elementów bazowych $\scriptstyle X_i$ dają bazę produktu $\scriptstyle \prod X_i.$

W ogólności produkt topologii przestrzeni $\scriptstyle X_i$ jest bazą tzw. topologii przedziałowej na $\scriptstyle X,$ która zwykle jest silniejsza niż topologia produktowa, jednak pokrywa się z nią w przypadku produktów skończonych.

Przykłady

Wprowadzając topologię produktową na produkcie skończenie wielu kopii przestrzeni liczb rzeczywistych $\scriptstyle \mathbb R$ (z naturalną topologią) otrzymuje się zwykłą topologię euklidesową na $\scriptstyle \mathbb R^n.$

Zbiór Cantora jest homeomorficzny z produktem przeliczalnie wielu przestrzeni dyskretnych $\scriptstyle \{0, 1\},$ a przestrzeń liczb niewymiernych z produktem przeliczalnie egzemplarzy liczb naturalnych z topologią dyskretną.

Własności

Przestrzeń produktowa $\scriptstyle X,$ wraz z rzutami kanonicznymi, może być opisana za pomocą następującej własności uniwersalnej: jeżeli $\scriptstyle Y$ jest przestrzenią topologiczną i dla każdego $\scriptstyle i \in I$ funkcja $\scriptstyle f_i\colon Y \to X_i$ jest przekształceniem ciągłym, to istnieje jedno i tylko jedno takie przekształcenie ciągłe $\scriptstyle f\colon Y \to X,$ że dla każdego $\scriptstyle i \in I$ następujący diagram jest przemienny:

Własność ta pokazuje, że przestrzeń produktowa jest produktem w kategorii przestrzeni topologicznych. Z powyższej własności uniwersalnej wynika też, że przekształcenie $\scriptstyle f\colon Y \to X$ jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy $\scriptstyle f_i = p_i \circ f$ jest ciągłe dla każdego $\scriptstyle i \in I.$ W wielu przypadkach sprawdzenie ciągłości funkcji składowych $\scriptstyle f_i$ bywa łatwiejsze. Zwykle trudniej dowieść ciągłości przekształcenia $\scriptstyle g\colon X \to Z;$ w pewien sposób korzysta się wtedy z ciągłości $\scriptstyle p_i.$

Ciągłe przekształcenia $\scriptstyle p_i\colon X \to X_i$ są także otwarte, tzn. rzut dowolnego podzbioru otwartego przestrzeni produktowej na $\scriptstyle X_i$ pozostaje otwarty. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: jeżeli $\scriptstyle W$ jest podprzestrzenią przestrzeni produktowej, dla której wszystkie rzuty na $\scriptstyle X_i$ są otwarte, to $\scriptstyle W$ nie musi być otwarta w $\scriptstyle X$ (np. $\scriptstyle W = \mathbb R^2 \setminus (0, 1)^2$). W ogólności rzuty kanoniczne nie są przekształceniami domkniętymi (kontrprzykładem może być zbiór domknięty $\scriptstyle \{(x,y) \in \mathbb R^2\colon xy = 1\},$ którego rzutami na obie osie są $\scriptstyle \mathbb R \setminus \{0\}$).

Topologię produktową nazywa się także topologią zbieżności punktowej, co wynika z następującej obserwacji: ciąg (także uogólniony) w $\scriptstyle X$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są wszystkie jego rzuty na $\scriptstyle X_i.$ W szczególności, jeśli $\scriptstyle X = \mathbb R^I$ wszystkich funkcji o wartościach rzeczywistych określonych na $\scriptstyle I,$ to zbieżność w topologii produktowej pokrywa się ze zbieżnością punktową funkcji.

Produkt domkniętych podzbiorów $\scriptstyle X_i$ jest zbiorem domkniętym w $\scriptstyle X.$

Ważnym twierdzeniem o topologii produktowej jest twierdzenie Tichonowa: dowolny produkt przestrzeni zwartych jest zwarty (co stosunkowo łatwo dowieść dla produktów skończonych). Ogólne twierdzenie, w postaci „produkt zbioru niepustych zbiorów jest niepusty”, jest z kolei równoważne aksjomatowi wyboru. Dowód jest dość prosty: wystarczy wybrać element z każdego zbioru, aby wskazać reprezentanta w produkcie. Odwrotnie, reprezentant produktu to zbiór, który zawiera dokładnie jeden element z każdej składowej. W kontekście przestrzeni produktowych aksjomat wyboru napotyka się w ogólniejszej postaci, np. twierdzenie Tichonowa dotyczące zbiorów zwartych jest nieco bardziej złożonym i subtelnym przykładem stwierdzenia równoważnego aksjomatowi wyboru.

Twierdzenie Tichonowa dla przestrzeni Hausdorffa jest równoważne twierdzeniu o ideale pierwszym (BPI: każdy ideał na algebrze Boole'a może być rozszerzony do ideału pierwszego). W obu przypadkach równoważności zachodzą na gruncie ZF.

Związki topologiczne

Oddzielanie

• Produkt przestrzeni T₀ jest T₀.
• Produkt przestrzeni T₁ jest T₁.
• Produkt przestrzeni Hausdorffa jest Hausdorffa.
• Produkt przestrzeni regularnych jest regularny.
• Produkt przestrzeni Tichonowa jest Tichonowa.
• Produkt przestrzeni normalnych nie musi być normalny.

Przeliczalność

• Przeliczalny produkt przestrzeni spełniających pierwszy bądź drugi aksjomat przeliczalności spełnia ten sam aksjomat.

Zwartość

• Produkt przestrzeni zwartych jest zwarty (twierdzenie Tichonowa).
• Produkt przestrzeni lokalnie zwartych nie musi być lokalnie zwarty. Jednakże dowolny produkt przestrzeni lokalnie zwartych, wśród których wszystkie poza skończenie wieloma są zwarte, jest lokalnie zwarty (warunek ten jest zarazem wystarczający jak i niezbędny).

Spójność

• Produkt przestrzeni spójnych (odp. drogowo spójnych) jest spójny (odp. drogowo spójny).
• Produkt przestrzeni dziedzicznie niespójnych jest dziedzicznie niespójny.

Ośrodkowość

• Produkt co najwyżej $\scriptstyle 2^{\aleph_0}$ przestrzeni ośrodkowych jest ośrodkowy.

Przekształcenie, które „lokalnie wygląda jak” rzut kanoniczny $\scriptstyle F \times U \to U$ nazywa się wiązką włóknistą.

Uogólnienia

Pojęcie produktu rodziny zbiorów (i topologii) uogólnia się poprzez zastąpienie funkcji (będących elementami przestrzeni produktowej) tzw. multifunkcjami. Można określić dla nich uogólnienie produktu kartezjańskiego nazywane m-produktem.

Niech $\scriptstyle (X_i, \tau_i),$ gdzie $\scriptstyle i \in I$ będą przestrzeniami topologicznymi. Wówczas w m-produkcie przestrzeni $\scriptstyle X_i$ można wprowadzić topologię zadaną przez podbazę postaci

$\bigl\{p_i^-(U_i),\; p_i^+(U_i)\colon i \in I \mbox{ oraz } U_i \in \tau_i\},$

gdzie $\scriptstyle p$ oznacza rzut kanoniczny.

Zobacz też

• suma rozłączna
• Topologia wprowadzona przez rodzinę przekształceń
• przestrzeń ilorazowa
• podprzestrzeń

Bibliografia

• Stephen Willard, General Topology, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.