Topologia produktowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Topologia produktowa – w topologii i związanych z nią działach matematyki naturalna topologia, w którą wyposażona jest przestrzeń produktowa, czyli iloczyn kartezjański rodziny przestrzeni topologicznych. Choć na przestrzeni produktowej można wprowadzić być może bardziej oczywistą topologię przedziałową, która pokrywa się z topologią produktową w przypadku produktu skończenie wielu przestrzeni, to topologię produktową uważa się jednak za „poprawniejszą” dlatego, iż czyni ona z przestrzeni produktowej teoriokategoryjny produkt jej czynników, podczas gdy topologia przedziałowa jest w ogólności zbyt uboga; w tym właśnie sensie topologia produktowa jest „naturalną” topologią przestrzeni produktowej.

Produkty skończenie wielu przestrzeni topologicznych rozważano niemal od początków topologii, jednak topologie produktów kartezjańskich dowolnych rodzin przestrzeni topologicznych zostały opisane po raz pierwszy przez rosyjskiego topologa Andrieja Tichonowa dopiero w 1930 roku. Z tego powodu inną nazwą topologii produktowej jest topologia Tichonowa.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (Xi)iI będzie rodziną przestrzeni topologicznych, indeksowaną elementami pewnego zbioru I oraz niech

X := \prod_{i \in I} X_i,

będzie (być może nieskończonym) iloczynem kartezjańskim rodziny zbiorów Xi (iI). Dla każdego i0I wzór

pi0(x) = xi0,

gdzie x = (xi)iIX, określa funkcję pi0: XXi0 nazywaną rzutowaniem kanonicznym na współrzędną o indeksie i0.

Topologią produktową albo topologią Tichonowa w X nazywa się najmniejszą (najuboższą, najsłabszą) topologię w zbiorze X względem, której wszystkie rzutowania pi (iI) są ciągłe.

Równoważnie topologię produktową w X można wprowadzić poprzez zadanie bazy składającej się ze zbiorów postaci

\mathrm p_{i_1}^{-1}(U_{i_1}) \cap \ldots \cap \mathrm p_{i_n}^{-1}(U_{i_n}),

gdzie i1, …, inI jest dowolnym skończonym zbiorem indeksów, a zbiory Uik są otwarte w Xik. Innymi słowy, każdy zbiór otwarty w X jest sumą pewnej (możliwe, że nieskończonej) rodziny zbiorów powyższej postaci.

Topologię produktową w X można wprowadzić także poprzez zadanie bazy składającej się ze zbiorów postaci

\prod_{i \in I} U_i,

gdzie każdy ze zbiorów Ui jest otwarty w Xi, a zbiór {iI: UiXi} jest skończony.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: topologia początkowa.

Wprowadzając topologię produktową na produkcie skończenie wielu kopii przestrzeni liczb rzeczywistych \scriptstyle \mathbb R (z naturalną topologią) otrzymuje się zwykłą topologię euklidesową na \scriptstyle \mathbb R^n.

Zbiór Cantora jest homeomorficzny z produktem przeliczalnie wielu przestrzeni dyskretnych \scriptstyle \{0, 1\}, a przestrzeń liczb niewymiernych z produktem przeliczalnie egzemplarzy liczb naturalnych z topologią dyskretną.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń produktowa \scriptstyle X, wraz z rzutami kanonicznymi, może być opisana za pomocą następującej własności uniwersalnej: jeżeli \scriptstyle Y jest przestrzenią topologiczną i dla każdego \scriptstyle i \in I funkcja \scriptstyle f_i\colon Y \to X_i jest przekształceniem ciągłym, to istnieje jedno i tylko jedno takie przekształcenie ciągłe \scriptstyle f\colon Y \to X, że dla każdego \scriptstyle i \in I następujący diagram jest przemienny:

Własność charakterystyczna przestrzeni produktowych

Własność ta pokazuje, że przestrzeń produktowa jest produktem w kategorii przestrzeni topologicznych. Z powyższej własności uniwersalnej wynika też, że przekształcenie \scriptstyle f\colon Y \to X jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy \scriptstyle f_i = \mathrm p_i \circ f jest ciągłe dla każdego \scriptstyle i \in I. W wielu przypadkach sprawdzenie ciągłości funkcji składowych \scriptstyle f_i bywa łatwiejsze. Zwykle trudniej dowieść ciągłości przekształcenia \scriptstyle g\colon X \to Z; w pewien sposób korzysta się wtedy z ciągłości \scriptstyle \mathrm p_i.

Ciągłe przekształcenia \scriptstyle \mathrm p_i\colon X \to X_i są także otwarte, tzn. rzut dowolnego podzbioru otwartego przestrzeni produktowej na \scriptstyle X_i pozostaje otwarty. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe: jeżeli \scriptstyle W jest podprzestrzenią przestrzeni produktowej, dla której wszystkie rzuty na \scriptstyle X_i są otwarte, to \scriptstyle W nie musi być otwarta w \scriptstyle X (np. \scriptstyle W = \mathbb R^2 \setminus (0, 1)^2). W ogólności rzuty kanoniczne nie są przekształceniami domkniętymi (kontrprzykładem może być zbiór domknięty \scriptstyle \{(x,y) \in \mathbb R^2\colon xy = 1\}, którego rzutami na obie osie są \scriptstyle \mathbb R \setminus \{0\}).

Topologię produktową nazywa się także topologią zbieżności punktowej, co wynika z następującej obserwacji: ciąg (także uogólniony) w \scriptstyle X jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżne są wszystkie jego rzuty na \scriptstyle X_i. W szczególności, jeśli \scriptstyle X = \mathbb R^I wszystkich funkcji o wartościach rzeczywistych określonych na \scriptstyle I, to zbieżność w topologii produktowej pokrywa się ze zbieżnością punktową funkcji.

Produkt domkniętych podzbiorów \scriptstyle X_i jest zbiorem domkniętym w \scriptstyle X.

Ważnym twierdzeniem o topologii produktowej jest twierdzenie Tichonowa: dowolny produkt przestrzeni zwartych jest zwarty (co stosunkowo łatwo dowieść dla produktów skończonych). Ogólne twierdzenie, w postaci „produkt zbioru niepustych zbiorów jest niepusty”, jest z kolei równoważne aksjomatowi wyboru. Dowód jest dość prosty: wystarczy wybrać element z każdego zbioru, aby wskazać reprezentanta w produkcie. Odwrotnie, reprezentant produktu to zbiór, który zawiera dokładnie jeden element z każdej składowej. W kontekście przestrzeni produktowych aksjomat wyboru napotyka się w ogólniejszej postaci, np. twierdzenie Tichonowa dotyczące zbiorów zwartych jest nieco bardziej złożonym i subtelnym przykładem stwierdzenia równoważnego aksjomatowi wyboru.

Twierdzenie Tichonowa dla przestrzeni Hausdorffa jest równoważne twierdzeniu o ideale pierwszym (BPI: każdy ideał na algebrze Boole'a może być rozszerzony do ideału pierwszego). W obu przypadkach równoważności zachodzą na gruncie ZF.

Związki topologiczne[edytuj | edytuj kod]

Oddzielanie
Prosta Sorgenfreya X jest przestrzenią normalną ale jej kwadrat X × X nie jest normalny. A.H. Stone udowodnił, że iloczyn kartezjański nieprzeliczalnie wielu niezwartych przestrzeni metrycznych nie jest przestrzenią normalną[2].
Przeliczalność
Zwartość
  • Produkt przestrzeni zwartych jest zwarty (twierdzenie Tichonowa).
  • Produkt przestrzeni lokalnie zwartych nie musi być lokalnie zwarty. Jednakże dowolny produkt przestrzeni lokalnie zwartych, wśród których wszystkie poza skończenie wieloma są zwarte, jest lokalnie zwarty (warunek ten jest zarazem wystarczający jak i niezbędny).
Spójność
  • Produkt przestrzeni spójnych (odp. drogowo spójnych) jest spójny (odp. drogowo spójny).
  • Produkt przestrzeni dziedzicznie niespójnych jest dziedzicznie niespójny.
Ośrodkowość

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Zobacz też: multifunkcjam-produkt.

Pojęcie produktu rodziny zbiorów (i topologii) uogólnia się poprzez zastąpienie funkcji (będących elementami przestrzeni produktowej) tzw. multifunkcjami. Można określić dla nich uogólnienie produktu kartezjańskiego nazywane m-produktem.

Niech \scriptstyle (X_i, \tau_i), gdzie \scriptstyle i \in I będą przestrzeniami topologicznymi. Wówczas w m-produkcie przestrzeni \scriptstyle X_i można wprowadzić topologię zadaną przez podbazę postaci

\bigl\{\mathrm p_i^-(U_i),\; \mathrm p_i^+(U_i)\colon i \in I \mbox{ oraz } U_i \in \tau_i\},

gdzie \scriptstyle \mathrm p oznacza rzut kanoniczny.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Stephen Willard, General Topology, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.

Przypisy