Torsja krzywej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Torsją (skręceniem lub drugą krzywizną) krzywej przestrzennej L nazywamy granicę, do której dąży stosunek kąta α pomiędzy binormalnymi w punktach M i M' krzywej L do długości łuku MM', gdy punkt M' dąży po krzywej do punktu M:

T=\lim_{M' \to M}~{\alpha \over |MM'|}.

Można wykazać, że skręcenie krzywej przestrzennej określonej funkcjami klasy C^3 w punkcie M(x(t),y(t),z(t)) oblicza się według wzoru

T=\frac{det\left[ \begin{matrix}
x'(t) & y'(t) & z'(t)\\
x''(t) & y''(t) & z''(t)\\
x'''(t) & y'''(t) & z'''(t)
\end{matrix}\right]}{A^2+B^2+C^2}, gdzie:
A=\det\begin{bmatrix}
y'(t) & z'(t)\\
y''(t) & z''(t)\\
\end{bmatrix},
B=\det\begin{bmatrix}
z'(t) & x'(t)\\
z''(t) & x''(t)\\
\end{bmatrix},
C=\det\begin{bmatrix}
x'(t) & y'(t)\\
x''(t) & y''(t)\\
\end{bmatrix},

Zauważmy, że skręcenie może być dowolną liczbą rzeczywistą.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • W. Krysicki, L. Włodarski "Analiza matematyczna w zadaniach cz. II"